32. Сложение и вычитание десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, записанная с помощью запятой. Например, 0,4 — это четыре десятых, а 0,27 — двадцать семь сотых. Запись с запятой помогает удобно показывать части целого и сравнивать их с целыми единицами. По цифрам после запятой можно определить, какие доли целого записаны.

Сложение десятичных дробей — нахождение суммы дробей с записью слагаемых друг под другом так, чтобы запятые стояли одна под другой. Слагаемые — это числа, которые складывают, а сумма — результат сложения. Такое расположение помогает складывать цифры одного и того же разряда. Этот способ особенно удобен, когда вычисление выполняют столбиком.

Вычитание десятичных дробей — нахождение разности дробей с записью уменьшаемого и вычитаемого друг под другом так, чтобы запятые стояли одна под другой. Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое отнимают. Разность показывает, сколько осталось или насколько одно число больше другого. Выравнивание записи помогает не перепутать десятые, сотые и целые.

Как это устроено

Запятые выравнивают, чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом. Слева от запятой записаны целые единицы, а справа — десятые, сотые и более мелкие доли. Если поставить числа по последней цифре, например десятые могут оказаться под сотыми. Тогда вычисление будет означать не то действие, которое задано.

Чтобы сложить десятичные дроби, запишите их по разрядам и сложите цифры, начиная с правого разряда, как при сложении натуральных чисел. Если сумма в разряде получилась больше девяти, единицу переносят в следующий разряд. Запятые при этом уже выровнены, поэтому в ответе запятую ставят под запятыми слагаемых. Так сохраняется правильное место целых и дробных частей.

При вычитании сначала выровняйте записи по запятым, затем вычитайте цифры соответствующих разрядов. Если цифры уменьшаемого в каком-то разряде не хватает, займитесь одной единицей из соседнего разряда по тому же правилу, что и при вычитании натуральных чисел. Запятую в разности ставят под запятыми уменьшаемого и вычитаемого. Выравнивание не даёт перепутать, из какого разряда нужно занимать единицу.

Если после запятой у чисел разное число цифр, справа можно дописать нули. Например, 4,6 и 4,60 — одно и то же число: 4,6 означает 4 целых и 6 десятых, а 4,60 — 4 целых и 60 сотых. Десятая равна десяти сотым, поэтому значение не меняется. Нули помогают расположить разряды в столбик и не мешают вычислениям.

Результат полезно проверить обратным действием: сложение — вычитанием, а вычитание — сложением. Например, к разности прибавляют вычитаемое и смотрят, получилось ли уменьшаемое. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в вычислении или в записи разрядов. Ещё можно оценить ответ: если от 8 вычесть число около 3, результат должен быть примерно 5, а не 50.

Сложение и вычитание десятичных дробей

В таблице собраны правила записи, выполнения и проверки действий. Сначала выберите нужную строку, затем проверьте, совпадают ли разряды в вашей записи. Если дробные части разной длины, используйте строку о приписывании нулей.

Разбор задач

Вычислите 2,4 + 1,3.

Нужно сложить целые части и десятые. Запишем числа так, чтобы запятые оказались одна под другой. В каждом разряде складываем цифры, не забывая поставить запятую в ответе на прежнем месте.

1. Запишем числа столбиком: 2,4 и 1,3, совместив запятые.
2. Сложим десятые: 4 + 3 = 7 десятых. Сложим целые: 2 + 1 = 3 целых.
3. Запишем результат: 3,7. Проверим: 3,7 − 1,3 = 2,4.

Ответ: 3,7.

Вычислите 7,2 − 3,85.

У уменьшаемого после запятой одна цифра, а у вычитаемого две. Чтобы выровнять разряды, запишем 7,2 как 7,20: число от этого не изменится. Теперь вычитаем по разрядам столбиком и ставим запятую под запятыми.

1. Запишем вычитание: 7,20 − 3,85. Сотых в уменьшаемом ноль, поэтому для вычитания занимаем единицу из соседнего разряда.
2. Выполним вычитание: 10 − 5 = 5 сотых; после займа в разряде десятых остаётся 1, поэтому занимаем у целых и получаем 11 − 8 = 3 десятых.
3. В целой части после займа остаётся 6; 6 − 3 = 3. Получаем 3,35.

Проверка: 3,35 + 3,85 = 7,20. Ответ: 3,35.

Задача о ленте

Длина ленты была 5,6 м. От неё отрезали 1,75 м, а затем ещё 0,8 м. Чтобы узнать, сколько осталось, нужно вычесть из первоначальной длины обе отрезанные части. Запишем выражение 5,6 − 1,75 − 0,8 и выровняем число знаков после запятой.

1. Приведём записи к сотым: 5,6 = 5,60, а 0,8 = 0,80. Тогда выражение выглядит так: 5,60 − 1,75 − 0,80.
2. Сначала вычтем 1,75: 5,60 − 1,75 = 3,85. Затем найдём, сколько останется после второго отреза: 3,85 − 0,80 = 3,05.
3. Проверим сложением: 3,05 + 1,75 + 0,80 = 5,60, то есть первоначальная длина восстановилась.

Ответ: осталось 3,05 м ленты.

Типичные ошибки

Числа иногда записывают по последней цифре, а не по запятой. Так могут оказаться друг под другом десятые и сотые, поэтому складываются или вычитаются разные разряды. Эта ошибка появляется, если смотреть только на край столбика. Проверьте, совпадают ли запятые и стоят ли одинаковые разряды друг под другом.

Некоторые ставят запятую в ответе, отсчитывая цифры после запятой только у одного числа. При сложении или вычитании это неверно: положение запятой задаётся разрядами исходной записи. Ошибку легче допустить, если вычислять не столбиком, а в уме. Сравните место запятой в ответе с запятыми в записи примера.

При разном числе цифр после запятой могут забыть дописать ноль, например при вычислении 7,2 − 3,85. Тогда выравнивание становится неудобным, и легко принять десятые за сотые. Ноль справа можно добавить без изменения числа. Проверьте, одинаковое ли количество разрядов после запятой в столбике.

Ноль справа после запятой иногда считают изменением значения числа. Но 3,5 и 3,50 равны: во втором случае десятые просто выражены в сотых. Ошибка возникает из-за того, что ноль воспринимают как новую часть числа. Проверьте равенство, представив 3,5 как 3 целых 50 сотых.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь читать и записывать десятичные дроби, различать разряды десятых, сотых и тысячных, сравнивать дроби и выполнять действия с натуральными числами. Эти знания помогают правильно выстроить числа и выполнить вычисления по разрядам. Если разряды пока путаются, полезно сначала потренироваться определять значение каждой цифры в записи дроби.

Сложение и вычитание десятичных дробей нужны в задачах о длине, массе, стоимости и времени. Например, так находят общую длину отрезков или сдачу после покупки. Эти действия также станут основой для умножения и деления десятичных дробей. Умение выравнивать разряды поможет аккуратно записывать и проверять новые вычисления.

Что запомнить

• При сложении и вычитании записывай запятую под запятой.
• Одноимённые разряды должны стоять друг под другом.
• При необходимости к дробной части можно приписывать нули справа.
• Выполняй действия по разрядам, как с натуральными числами.
• Запятую в ответе ставь под запятыми исходных чисел.
• Проверяй вычитание сложением, а сложение — вычитанием.