1.4. Умножение и деление чисел

Определения и обозначения

Умножение натуральных чисел — действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых. Числа, которые перемножают, называют множителями. Такое обозначение помогает быстро записывать повторяющееся сложение и считать большие группы одинаковых предметов.

Произведение — результат умножения. В записи 6 · 4 = 24 числа 6 и 4 являются множителями, а 24 — произведением. Значит, по записи до знака равенства обычно находят множители, а после него — результат их умножения.

Деление натуральных чисел — действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой. Число, которое делят, называют делимым, а число, на которое делят, — делителем. Эти названия нужны, чтобы правильно читать запись и выбирать действие при решении задачи.

Частное — результат деления. В равенстве 84 : 7 = 12 число 12 является частным. Его смысл проверяют умножением делителя на частное: 7 · 12 должно быть равно делимому 84.

Как это устроено

Представим 4 одинаковые группы, в каждой по 6 предметов. Их общее количество можно найти сложением 6 + 6 + 6 + 6, но такая запись становится длинной при большом числе групп. Поэтому используют умножение: 6 · 4 = 24, где первый множитель показывает количество предметов в группе, а второй — число одинаковых групп.

Множители имеют разные роли в конкретной задаче, но в самом вычислении их можно переставлять. Например, 6 · 4 означает четыре группы по шесть, а 4 · 6 — шесть групп по четыре; в обоих случаях всего 24. Поэтому действует переместительное свойство: a · b = b · a. Произведение при перестановке множителей не меняется.

Деление можно представить как поиск неизвестного множителя. Если известно, что a · b = c, то из этого равенства следуют два связанных действия: c : a = b и c : b = a. Например, из 7 · 12 = 84 получаем 84 : 7 = 12. Такая связь позволяет выбирать деление, когда известны общее количество и размер одной части.

На ноль делить нельзя, потому что произведение нуля на любое число равно нулю: 0 · a = 0. Поэтому делением невозможно получить ненулевое число, если делитель равен нулю. А деление нуля на любое натуральное число, отличное от нуля, возможно: 0 : a = 0, поскольку a · 0 = 0.

Проверка деления основана на обратном действии: делитель умножают на частное и сравнивают результат с делимым. В выражениях без скобок умножение и деление равноправны, поэтому их выполняют слева направо. Например, в 120 : 5 · 3 сначала выполняют деление, а затем умножение; сложение и вычитание при их наличии выполняют после них.

Умножение и деление натуральных чисел

В таблице собраны названия частей действий, их смысл, связь и правила проверки. Сначала определите, какое действие записано, затем найдите его компоненты и результат. Особенно полезно сверяться со строками о нуле и проверке: они помогают обнаружить ошибки.

Разбор задач

Умножение как сумма одинаковых слагаемых

Вычислим 6 · 4 и представим умножение в виде суммы. Число 6 повторяется четыре раза, поэтому именно оно становится одинаковым слагаемым. Нужно не перепутать количество групп с числом в каждой группе.

1. Записываем четыре слагаемых: 6 + 6 + 6 + 6.
2. Складываем их: 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
3. Называем части записи: 6 и 4 — множители, а 24 — произведение.

Ответ: 6 · 4 = 24, или 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Можно было записать и 4 · 6: произведение осталось бы равным 24.

Деление и проверка результата

Вычислим 84 : 7. Здесь известно делимое 84 и делитель 7, поэтому нужно найти число, которое при умножении на 7 даст 84. Это число является частным.

1. Подбираем множитель: 7 · 12 = 84.
2. Значит, частное равно 12: 84 : 7 = 12.
3. Проверяем деление умножением делителя на частное: 7 · 12 = 84.

Ответ: 84 : 7 = 12. Проверочное равенство совпало с делимым, значит, результат найден верно.

Порядок действий

Вычислим 120 : 5 · 3. Здесь есть только деление и умножение, а скобок нет, поэтому действия выполняются слева направо. Нельзя начинать с умножения только потому, что оно записано привычнее.

1. Сначала делим первое число на 5: 120 : 5 = 24.
2. Затем умножаем полученный результат на 3: 24 · 3 = 72.
3. Проверяем промежуточный результат: 24 · 5 = 120, значит первое действие выполнено правильно.

Ответ: 120 : 5 · 3 = 72. Если бы выражение содержало скобки, сначала выполняли бы действие в скобках.

Типичные ошибки

Перестановка множителей якобы меняет произведение. Ошибка появляется, когда свойство умножения путают с действиями, где порядок действительно важен. Проверьте себя перестановкой: если 6 · 4 и 4 · 6 дают одно и то же число, произведение не изменилось.

Путают делимое и делитель. Иногда при проверке умножают частное не на делитель, а на другое число, поэтому равенство не подтверждается. Подпишите роли чисел и используйте правило: делитель · частное = делимое.

Считают, что на ноль можно делить. Такая ошибка связана с тем, что ноль принимают за обычный делитель. Проверьте смысл деления: не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое.

Сначала выполняют умножение независимо от записи. Умножение и деление равноправны, поэтому выбор действия определяет их положение слева направо. Перечитайте выражение и поставьте порядок действий по ходу записи, если нет скобок.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны таблица сложения и таблица умножения. Также следует понимать, что умножение связано со сложением одинаковых слагаемых. Эти знания помогают быстро находить произведения и частные.

Связь деления с умножением используется при решении уравнений. Если неизвестен один множитель, его находят делением произведения на известный множитель. Тем же способом удобно проверять вычисления.

Порядок действий нужен при вычислении числовых выражений. Он также помогает правильно переводить условие текстовой задачи в математическую запись. Ошибка в порядке действий меняет весь ответ.

Что запомнить

• Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых.
• Множители можно менять местами — произведение не изменится.
• Деление — действие, обратное умножению.
• Деление проверяют умножением делителя на частное.
• На ноль делить нельзя.
• При делении нуля на ненулевое число получается ноль.
• Умножение и деление выполняют слева направо, если нет скобок.