Во введении обозначается тема проекта и объясняется, почему производную важно изучать не только как способ вычислений, но и как инструмент описания изменений. Формулируются проблема, цель и задачи, указываются методы работы с источниками и примерами, а также обозначаются границы исследования: исторические предпосылки анализа и его научные применения.

В этом разделе рассматриваются задачи, из которых постепенно выросли идеи анализа: вычисление площадей и объёмов, построение касательных и описание движения. Прослеживается развитие математических методов от античных подходов к работам учёных раннего Нового времени. Раздел помогает понять, что появление анализа стало ответом на конкретные задачи, а не случайным открытием.

Раздел посвящён вкладу Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница в создание дифференциального исчисления. Сопоставляются их подходы, рассматриваются исторические даты и развитие обозначений, а также объясняется, почему методы этих учёных позволили систематически решать задачи о мгновенных изменениях и касательных.

В теоретической части вводится определение производной через предел отношения приращений и поясняется смысл входящих в него величин. Затем рассматривается геометрическая интерпретация: производная в точке задаёт наклон касательной к графику. Примеры простых функций помогают связать формальное определение с графиком и изменением значений.

Здесь разбираются научные задачи, в которых производная описывает темп изменения величин. Рассматриваются скорость и ускорение в физике, темпы роста в биологических моделях, а также предельные затраты и поиск оптимума в экономике. Для каждого примера уточняется, что означают переменные и при каких предположениях модель применима.

В практической части выбирается функция, задающая положение тела во времени, и по ней вычисляются первая и вторая производные. На конкретных значениях времени находятся скорость и ускорение, после чего результат переводится на язык физической задачи. Это позволяет проверить, как математические операции отражают измеряемые характеристики движения.

Раздел содержит разбор одной или нескольких моделей из биологии и экономики, например изменения численности или зависимости затрат от объёма выпуска. Участники определяют производную, объясняют её единицы измерения и интерпретируют знак и величину результата. Отдельно отмечаются ограничения модели и условия, при которых выводы имеют смысл.

В этом пункте сравниваются исторические задачи и современные применения производной, а также проверяется согласованность формул, вычислений и словесных объяснений. Практические результаты соотносятся с исходными условиями моделей. Такое сопоставление помогает обнаружить ошибки в расчётах и уточнить, какие выводы действительно подтверждаются полученными данными.

В заключении кратко подводятся итоги изучения исторических предпосылок математического анализа и роли производной в разных науках. Соотносятся полученные результаты с поставленной целью и задачами, перечисляются рассмотренные примеры и отмечается, какие ограничения есть у простых моделей. Здесь не вводятся новые исторические сведения или расчёты.

В список включаются учебники по алгебре и началам анализа, справочные издания и проверенные публикации по истории математики и применениям производной. Для каждого источника приводятся автор, название, издательство или данные публикации и год, а для интернет-материалов — название ресурса и дата обращения. Перечень помогает проверить факты и формулы проекта.