"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Решение текстовой задачи — это перевод описанной словами ситуации на язык математики и возвращение от вычислений к смыслу условия. Нужно выделить известные и неизвестные величины, обозначить неизвестную, установить связи и составить уравнение или систему. После решения важно учесть область допустимых значений и проверить каждый корень по условию. Так можно отсеять формально верные, но бессмысленные результаты и дать точный ответ с единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью переменных, формул, уравнений или системы уравнений. Проще говоря, это математический способ описать ситуацию из условия. Модель нужна, чтобы заменить рассуждения о величинах точными связями, которые можно вычислить.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти и которую обозначают переменной, чаще всего x. Например, если нужно узнать начальную цену товара, за x удобно принять именно её. Указанный смысл переменной помогает не перепутать искомое с другими величинами.
Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменной, имеющие смысл по условию задачи. В неё не входят, например, значения, при которых знаменатель равен нулю, а также отрицательные длины и время. ОДЗ нужна, чтобы заранее понимать, какие результаты могут быть ответом.
Ответ задачи — найденное значение или значения неизвестной с указанием единиц измерения и проверкой соответствия условию. Это не просто корень уравнения: необходимо объяснить, что именно найдено, и записать результат словами. Такой ответ показывает, что вычисления верно истолкованы.
Решение начинают с анализа условия, потому что отдельные числа сами по себе не показывают, как их связывать. Нужно найти известные и неизвестные величины, понять, какие из них зависят друг от друга, и выбрать переменную. Если начать сразу составлять уравнение, легко перепутать величины или записать не ту зависимость.
Модель составляют, выражая величины через переменную и переводя условие в равенство или систему равенств. Например, если цена x рублей выросла на 20%, новая цена равна x + 0,2x, то есть 1,2x. Такое выражение объясняет, от какой величины берутся проценты, а уравнение связывает новую цену с данными задачи.
ОДЗ составляют до решения, потому что математические действия могут допустить значения, невозможные в описанной ситуации. Время, длина и количество предметов обычно не бывают отрицательными, а в дроби знаменатель не может быть нулём. Если учесть эти запреты заранее, часть корней можно исключить ещё до вычислений.
Проверка нужна после решения, поскольку преобразования уравнения не гарантируют, что каждый корень подходит исходной ситуации. Например, возведение обеих частей в квадрат иногда приводит к лишним корням. Подстановка в исходное условие и проверка смысла величин помогают отличить подходящий результат от формально верного решения модели.
Оформляя окончательное решение, нужно назвать найденную величину, сохранить её единицы и сформулировать ответ словами. Число без единиц может быть непонятно: 12 может означать километры, часы или предметы. Словесная формулировка связывает математический результат с вопросом задачи.
| Этап | Что сделать | Результат |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины, установить связи между ними | Понятно, что обозначить переменной |
| Введение переменной | Обозначить неизвестную величину и указать её смысл | Выбрана переменная с единицами измерения |
| Составление ОДЗ | Учесть ограничения условия и запреты на недопустимые значения | Получена область допустимых значений |
| Построение модели | Записать уравнение или систему по условию | Математическая модель задачи |
| Решение модели | Решить уравнение или систему подходящим способом | Кандидаты на ответ |
| Проверка и ответ | Проверить корни по условию и записать ответ словами | Обоснованный ответ задачи |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда понятен результат предыдущего. В задаче не всегда требуется подробно выписывать каждый пункт, но ограничения и проверку нельзя терять. Такой порядок помогает заметить ошибку до того, как она повлияет на ответ.
После повышения цены товара на 20% его стоимость стала равна 600 рублей. Найдём первоначальную цену. Обозначим её через x рублей, поэтому x должно быть положительным. Увеличение на 20% означает прибавление 0,2x, а не 20 рублей.
Полученное значение положительно и подходит условию. Единица измерения — рубли. Ответ: первоначальная цена товара — 500 рублей.
В сплаве массой 10 кг содержится 30% меди. Сколько килограммов чистого металла нужно добавить, чтобы содержание меди стало 20%? Понимаем «чистый металл» здесь как металл без меди: количество меди останется неизменным, а общая масса увеличится. Обозначим массу добавки через x кг, где x ≥ 0.
Ответ: нужно добавить 5 кг металла без меди.
Катер прошёл 48 км по течению и 48 км против течения за 5 часов. Скорость течения — 2 км/ч. Обозначим собственную скорость катера через x км/ч. По течению скорость равна x + 2, против течения — x − 2, поэтому ОДЗ: x > 2.
Ответ: собственная скорость катера равна (48 + 2√601)/5 км/ч, примерно 19,8 км/ч.
Переменную обозначают, не пояснив её смысл. Тогда при вычислениях можно забыть, какая величина скрывается за x, и неверно записать ответ; обычно это происходит из-за спешки. Перед решением и ответом проверь, что рядом с обозначением есть название величины и единица измерения.
Увеличение на 20% принимают за прибавление 20 единиц. Так путают процент, который зависит от исходной величины, с фиксированным числом. Проверь себя: 20% от x — это 0,2x, а новая величина после увеличения равна 1,2x.
Не учитывают ОДЗ и записывают отрицательную длину, скорость или время. Алгебраическое равенство может допускать корень, невозможный в реальной ситуации. Сверь каждый результат с ограничениями задачи и единицами измерения.
Не проверяют корень в исходном условии и останавливаются на решении уравнения. Это случается, когда вычисления принимают за весь ответ, хотя корень может быть посторонним или не иметь смысла. Подставь его в модель, проверь исходные связи и ответь на вопрос задачи словами.
Для решения задач нужны навыки работы с линейными, квадратными и рациональными уравнениями, системами, процентами и единицами измерения. Эти умения позволяют выбрать подходящую модель и правильно выполнить вычисления. Алгоритм пригодится в задачах на движение, работу, смеси, покупки и зависимости между величинами. Подготовка модели также используется при изучении функций, неравенств, систем и прикладных задач.
Как понять, какую величину обозначить за x?
Выбирай величину, которую требуется найти, или ту, через которую проще выразить остальные. Сразу запиши, что означает x и в каких единицах он измеряется.
Нужно ли составлять ОДЗ в каждой текстовой задаче?
Следует учитывать ограничения из условия всегда, даже если отдельная запись ОДЗ не нужна. Особенно явно её записывают, когда есть знаменатели, длины, время, скорости или количества, которые должны быть положительными.
Как выбрать между уравнением и системой уравнений?
Одного уравнения достаточно, если все величины можно выразить через одну переменную. Систему используют, когда удобнее ввести несколько неизвестных и связать их несколькими условиями.
Почему найденный корень может не подходить к условию?
При преобразованиях могут появиться посторонние корни, а само уравнение иногда допускает значения, не имеющие смысла в задаче. Например, отрицательная длина формально может удовлетворять уравнению, но не является ответом.
Как проверить, что составленное уравнение действительно верно?
Подставь в него величины, записанные через переменную, и сверь части равенства с исходным условием. После решения проверь найденное значение в самом условии и убедись, что все единицы и ограничения соблюдены.
Решение задач
