§ 4.11. Линзы. Формула тонкой линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями и способное изменять направление распространения света. При переходе через границу сред луч меняет направление, поэтому линзы могут собирать свет или делать пучок расходящимся. Это свойство используют, чтобы получать изображения и управлять ходом лучей.

Тонкая линза — модель линзы, толщиной которой пренебрегают по сравнению с радиусами кривизны поверхностей и расстояниями до предмета и изображения. Такая модель упрощает построение лучей и расчёты: считают, что преломление происходит в одной плоскости. Она подходит, когда толщина линзы действительно мала относительно остальных размеров задачи.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую световой луч в приближении проходит практически без изменения направления. Благодаря этому свойству можно построить один из главных лучей изображения, не вычисляя его преломление. В реальной линзе луч может немного отклониться, но в школьной модели этим эффектом пренебрегают.

Главный фокус — точка, где после преломления сходятся параллельные главной оптической оси лучи или где пересекаются их продолжения. Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра до фокуса, а оптическая сила D = 1/F характеризует способность линзы изменять ход света. Для D в диоптриях F выражают в метрах; знак F и D зависит от типа линзы.

Как это устроено

Выпуклая в середине линза преломляет параллельные оси лучи так, что после выхода они сближаются и пересекаются в действительном фокусе. Причина в том, что направление каждого луча меняется на границах линзы, а её форма направляет лучи к оси. У вогнутой в середине линзы преломление, наоборот, увеличивает расхождение лучей. Они не встречаются после линзы, но их продолжения назад пересекаются в мнимом фокусе.

Для построения изображения достаточно провести от верхушки предмета три главных луча. Луч через оптический центр в модели тонкой линзы продолжается практически прямо, потому что его отклонения на двух поверхностях взаимно компенсируются. Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а после рассеивающей идёт так, будто вышел из фокуса перед линзой. Луч, направленный через фокус до собирающей линзы, выходит параллельно оси; пересечение лучей или их продолжений показывает верхушку изображения.

У собирающей линзы положение предмета относительно F и 2F определяет, где встретятся преломлённые лучи. Если предмет дальше 2F, изображение возникает между F и 2F, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное; при предмете в 2F изображение тоже в 2F и равно предмету по размеру. Если предмет между F и 2F, изображение получается дальше 2F, действительное, перевёрнутое и увеличенное. Когда предмет расположен между линзой и F, лучи за линзой расходятся, а их продолжения пересекаются на стороне предмета: изображение мнимое, прямое и увеличенное.

Формула тонкой линзы получается из подобия треугольников, образованных предметом, изображением и главными лучами. При расстоянии до предмета d и знаковом расстоянии до изображения f она записывается как 1/F = 1/d + 1/f; для увеличения используют Γ = H/h = f/d, где H и h — знаковые высоты изображения и предмета. При таком соглашении d для реального предмета положительно, f для действительного изображения положительно, а для мнимого — отрицательно; знак Γ указывает ориентацию. Если в учебной задаче рассматривают только модули, отдельно определяют, прямое изображение или перевёрнутое.

Рассеивающая линза отклоняет лучи от главной оси, поэтому от реального предмета лучи после неё не сходятся. Их продолжения пересекаются перед линзой, и получается мнимое изображение: оно прямое и меньше предмета. Поскольку фокус у такой линзы мнимый, по принятому соглашению F < 0, а значит, отрицательна и оптическая сила D. Это знаковое правило позволяет применять ту же формулу тонкой линзы и к рассеивающей линзе.

Свойства изображений в тонких линзах

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите тип линзы и сравните расстояние до предмета с F и 2F. Затем найдите в подходящей строке свойства изображения и проверьте их построением главных лучей. Для рассеивающей линзы при реальном предмете изображение остаётся мнимым, прямым и уменьшенным при любом положении предмета.

Разбор задач

Собирающая линза имеет F = 20 см, предмет находится на расстоянии d = 60 см. Найдём расстояние до изображения и увеличение. Сравнение d с 2F = 40 см заранее подсказывает, что изображение должно быть действительным, перевёрнутым и уменьшенным.

1. Записываем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Выражаем расстояние до изображения: 1/f = 1/20 − 1/60 = 1/30, поэтому f = 30 см.
3. Находим увеличение: Γ = f/d = 30/60 = 0,5 по модулю. С учётом ориентации изображение перевёрнуто, поэтому знаковое увеличение равно −0,5.
4. Поскольку f положительно, изображение действительное; его высота вдвое меньше высоты предмета.

Ответ: изображение находится в 30 см за линзой, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в 2 раза.

Предмет высотой h = 4 см расположен в d = 15 см от собирающей линзы с F = 10 см. Требуется найти расстояние до изображения, его высоту и свойства. Здесь F < d < 2F, поэтому результат должен соответствовать случаю предмета между фокусом и двойным фокусом.

1. Подставляем данные в формулу: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/15 = 1/30.
2. Получаем f = 30 см. Положительное значение означает действительное изображение по другую сторону линзы.
3. Модуль увеличения равен f/d = 30/15 = 2. Значит, высота изображения по модулю H = 2 · 4 = 8 см.
4. Изображение перевёрнуто, поэтому его знаковая высота равна −8 см, а по размеру оно вдвое больше предмета.

Ответ: изображение находится в 30 см за линзой, его высота 8 см; оно действительное, перевёрнутое и увеличенное в 2 раза.

Оптическая сила рассеивающей линзы D = −5 дптр, предмет находится в 30 см от неё. Нужно найти F, положение и увеличение изображения. Сначала переводим диоптрии в метры, затем сохраняем отрицательный знак фокусного расстояния в формуле.

1. Из D = 1/F получаем F = 1/(−5) м = −0,2 м = −20 см.
2. Используем 1/f = 1/F − 1/d = −1/20 − 1/30 = −1/12, где расстояния выражены в сантиметрах.
3. Следовательно, f = −12 см. Отрицательное значение показывает, что изображение мнимое и находится со стороны предмета.
4. Увеличение Γ = f/d = −12/30 = −0,4 по знаковому соглашению. Знак соответствует прямому изображению, а модуль 0,4 показывает уменьшение до 40% высоты предмета.

Ответ: F = −20 см, изображение находится в 12 см от линзы со стороны предмета; оно мнимое, прямое и уменьшенное в 2,5 раза.

Типичные ошибки

Собирающую и рассеивающую линзы иногда различают только по внешнему виду: например, считают, что линза, выпуклая с одной стороны, обязательно собирающая. Однако действие зависит от формы обеих поверхностей и показателя преломления материала относительно окружающей среды. Проверяйте тип по параллельному пучку: сходятся ли лучи после линзы или расходятся.

Если подставлять расстояния в формулу без единого знакового соглашения, можно получить правдоподобное число с неверным смыслом. Причина ошибки — смешение расстояний-модулей со знаковыми величинами, особенно у рассеивающей линзы и мнимого изображения. До расчёта запишите знаки F и расстояний, а после — проверьте по лучам, с какой стороны должно находиться изображение.

Луч через оптический центр считают не преломляющимся без всяких условий. Это приближение относится к тонкой линзе и параксиальным лучам — лучам, проходящим близко к главной оси; в толстой линзе и для удалённых от оси лучей такое правило может быть неточным. Уточняйте, допускает ли задача модель тонкой линзы, и не переносите правило на любую оптическую систему.

Численное значение расстояния само по себе не сообщает всех свойств изображения, поэтому нельзя определять их, не сравнив d с F и 2F. Часто забывают о знаке увеличения или не проверяют, должно ли изображение быть действительным. Сопоставьте результат с таблицей и постройте два главных луча: их пересечение или пересечение продолжений должно подтвердить ответ.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны законы отражения и преломления света, показатель преломления и умение строить ход лучей. Эти знания позволяют объяснить, почему луч меняет направление на поверхности линзы, а геометрия построения даёт положение изображения. Формула тонкой линзы затем связывает картину лучей с расчётом расстояний и увеличения.

Линзы работают в глазе, лупе, фотоаппарате, проекторе, микроскопе и телескопе. Понимание фокуса и изображения помогает разобраться, как эти приборы собирают свет и меняют видимый размер предметов. Оптическую силу используют и при подборе очков: корректирующие линзы помогают компенсировать близорукость или дальнозоркость.

Что запомнить

• Собирающая линза сводит параллельные лучи в действительном фокусе, а рассеивающая создаёт мнимый фокус.
• Оптический центр тонкой линзы — точка, через которую луч проходит практически без отклонения.
• Формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
• Оптическая сила D = 1/F измеряется в диоптриях, если F выражено в метрах.
• У собирающей линзы F и D положительны, у рассеивающей — отрицательны.
• Положение и размер изображения определяются положением предмета относительно фокуса и двойного фокусного расстояния.
• Действительное изображение можно получить на экране, мнимое изображение на экране не получается.