§ 44. Линзы. Формула тонкой линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. Если она толще в середине, то обычно собирает лучи; если тоньше в середине — рассеивает. По форме можно предположить действие линзы, но ход лучей зависит также от показателя преломления материала и окружающей среды.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. Вдоль неё удобно задавать расстояния и строить изображение: точку пересечения лучей с осью часто используют, чтобы определить положение изображения предмета, стоящего перпендикулярно оси.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без изменения направления. Это упрощение позволяет строить изображение, не рассчитывая преломление каждого луча на обеих поверхностях. Для тонкой линзы расстояния до предмета и изображения отсчитывают от этой точки.

Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра до главного фокуса, где сходятся параллельные оси лучи или пересекаются их продолжения. В принятом соглашении F положительно у собирающей линзы и отрицательно у рассеивающей. Знак позволяет использовать одну формулу для линз обоих видов.

Как это устроено

Выпуклая линза преломляет лучи так, что после неё они направляются ближе к главной оптической оси. Поэтому лучи, падающие параллельно оси, сходятся в одной точке — главном фокусе, который находится за линзой и является действительным. Вогнутая линза, напротив, отклоняет параллельные лучи от оси. Они расходятся, а их продолжения назад пересекаются перед линзой: это мнимый фокус.

Чтобы построить изображение, достаточно выбрать от вершины предмета несколько удобных лучей. Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через её фокус; луч, направленный через фокус к линзе, после преломления идёт параллельно оси. Луч через оптический центр почти не отклоняется. Для рассеивающей линзы эти правила используют с учётом того, что лучи после неё расходятся, а фокус задают их продолжения.

Точка, в которой пересеклись преломлённые лучи, показывает, где возникает действительное изображение. Если лучи не пересекаются, но пересекаются их продолжения, изображение мнимое: оно находится там, откуда лучи кажутся выходящими. Положение точки изображения определяет, будет ли оно прямым или перевёрнутым относительно предмета; расстояние между точками изображения задаёт его размер. Так, действительное изображение обычно перевёрнуто, а мнимое может быть прямым.

Связь предмета, линзы и изображения задаёт формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f. Здесь d — расстояние от предмета до линзы, f — расстояние от изображения до неё, F — фокусное расстояние; величины берут в одинаковых единицах. Для действительного предмета d положительно, F отрицательно у рассеивающей линзы, а f положительно для действительного изображения и отрицательно для мнимого. Поэтому знак f сообщает, по какую сторону линзы и каким способом построено изображение.

Оптическая сила показывает, насколько сильно линза преломляет свет, и определяется как D = 1/F. Для расчёта F нужно выражать в метрах: например, линза с F = 0,5 м имеет D = 2 дптр. Диоптрия (дптр) равна обратному метру, то есть 1 дптр = 1 м⁻¹. У собирающей линзы оптическая сила положительна, у рассеивающей — отрицательна.

Собирающие и рассеивающие линзы и их изображения

Сначала по форме и действию на лучи определите тип линзы, затем используйте знак фокусного расстояния. Строка об изображении относится к действительному предмету; для собирающей линзы результат зависит от положения предмета относительно фокуса. Таблица помогает проверить знак и качественный результат расчёта.

Разбор задач

Найти расстояние до изображения

Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найдём расстояние до изображения. Предмет действительный, а линза собирающая, поэтому d = 30 см и F = 10 см положительны. Поскольку предмет дальше фокуса, ожидаем действительное изображение за линзой.

1. Запишем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
2. Выразим обратное расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15.
3. Обратная величина даёт f = 15 см. Положительный знак подтверждает, что изображение действительное.

Ответ: изображение находится в 15 см за линзой.

Найти фокусное расстояние и оптическую силу

Предмет расположен в 15 см от линзы, а действительное изображение получено на расстоянии 30 см. Требуется определить F и D. Так как изображение действительное, d = 15 см и f = 30 см положительны. Сначала найдём F в сантиметрах, затем переведём результат в метры для вычисления оптической силы.

1. Подставим расстояния: 1/F = 1/15 + 1/30 = 3/30 = 1/10 см⁻¹.
2. Следовательно, F = 10 см = 0,10 м. Положительное значение соответствует собирающей линзе.
3. Рассчитаем оптическую силу: D = 1/F = 1/0,10 = 10 дптр.

Ответ: F = 10 см, D = 10 дптр.

Найти положение и размер изображения

Собирающая линза имеет F = 12 см, предмет высотой 2 см находится в 18 см от неё. Нужно определить расстояние, характер и высоту изображения. Поскольку d больше F, ожидается действительное перевёрнутое изображение. Для его размера используем линейное увеличение Γ = −f/d, где знак минус означает переворот.

1. Найдём расстояние: 1/f = 1/F − 1/d = 1/12 − 1/18 = 1/36, значит f = 36 см.
2. Так как f положительно, изображение действительное и находится за линзой. Увеличение Γ = −36/18 = −2.
3. Высота изображения h′ = Γh = −2 · 2 см = −4 см. Модуль высоты равен 4 см, а отрицательный знак показывает перевёрнутость.

Ответ: изображение находится в 36 см за линзой, оно действительное, перевёрнутое и высотой 4 см.

Типичные ошибки

Собирающую и рассеивающую линзы иногда различают только по тому, выпуклая или вогнутая у них одна поверхность. Надёжнее сравнить толщину середины и краёв: собирающая обычно толще в середине, рассеивающая — у краёв. Проверьте себя и по действию на параллельный пучок: он сходится или расходится после линзы.

Если подставить фокусное расстояние рассеивающей линзы как положительное, расчёт даст неверный результат. Ошибка возникает из-за того, что величину воспринимают как обычную длину, забывая о принятом знаковом соглашении. Запишите перед вычислением знаки: для собирающей F > 0, для рассеивающей F < 0; затем проверьте, согласуется ли ответ с ходом лучей.

Мнимое изображение нельзя считать действительным только потому, что оно выглядит резким или его можно увидеть. Действительное изображение образуют сами преломлённые лучи, а мнимое — продолжения лучей, которые физически не сходятся в этой точке. Постройте лучи: если пересекаются лишь их продолжения, изображение мнимое.

Ещё одна ошибка — вычислить оптическую силу, оставив F в сантиметрах. Её допускают, когда забывают, что диоптрия — обратный метр, а не обратный сантиметр. Перед вычислением переведите сантиметры в метры и проверьте порядок величины: например, 10 см — это 0,10 м, поэтому оптическая сила равна 10 дптр.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужно знать закон преломления света: при переходе между средами луч меняет направление, потому что скорость света в них различается. Умение строить ход луча при переходе из одной среды в другую помогает объяснить, почему поверхности линзы сводят или рассеивают свет. Знание этих основ позволяет перейти от отдельных лучей к построению изображения.

Формула тонкой линзы и оптическая сила пригодятся при изучении оптических приборов. В частности, глаз образует изображение на сетчатке, а очки изменяют ход лучей так, чтобы изображение попадало в нужное место. Оптическую силу линз для коррекции зрения выражают в диоптриях.

Что запомнить

• Линза изменяет направление световых лучей вследствие преломления.
• Собирающая линза сводит параллельные главной оптической оси лучи в действительном фокусе.
• Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра до главного фокуса.
• Формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
• Оптическая сила D = 1/F, если F выражено в метрах.
• Действительное изображение образуется пересечением лучей, мнимое — пересечением их продолжений.