2. Энергетические уровни

Определения и обозначения

Энергетический уровень — возможное значение энергии атома или другой квантовой системы. Связанный электрон не может иметь произвольную энергию: его состояние в атоме должно соответствовать квантовым условиям. Поэтому уровень показывает одно из разрешённых состояний, а не любое место на непрерывной шкале.

Основное состояние — состояние системы с наименьшей возможной энергией. Оно отличается от остальных тем, что атом не может перейти в состояние с ещё меньшей энергией. Это удобная точка отсчёта при сравнении состояний, хотя сами значения энергии могут быть отрицательными.

Возбуждённое состояние — состояние, энергия которого выше энергии основного состояния. Атом попадает в него, если получает энергию, например поглощая фотон. Такое состояние не означает, что электрон обязательно покинул атом: он может оставаться связанным, но находиться на более высоком уровне.

Переход между энергетическими уровнями — изменение состояния атома с поглощением или испусканием фотона. Энергия фотона равна разности энергий начального и конечного состояний по модулю. Понятие перехода позволяет связать изменение состояния атома с наблюдаемым светом.

Как это устроено

Энергия связанного электрона не меняется непрерывно, потому что электрон в атоме обладает волновыми свойствами. Устойчивая волна должна укладываться в область, заданную атомом, и удовлетворять определённым условиям на границах. Этим условиям соответствуют лишь некоторые состояния и значения энергии. Между разрешёнными значениями электрон не может находиться как связанное состояние атома.

Уровни изображают горизонтальными линиями на энергетической диаграмме. Вертикальное положение линии соответствует энергии: чем она выше, тем больше энергия состояния. Расстояние между линиями показывает разность энергий, а не расстояние между электронами или оболочками. Если уровни расположены близко, переход между ними требует меньшей энергии, чем переход между далеко отстоящими уровнями.

Чтобы перейти на более высокий уровень, атом должен получить энергию, равную разности уровней. Он может поглотить фотон подходящей энергии; фотон с другой энергией не обеспечит такой переход. При переходе на более низкий уровень энергия атома уменьшается, и избыток уносится фотоном. Так сохраняется энергия системы вместе с излучением или поглощением.

Пусть энергии двух состояний равны E₁ и E₂. При переходе между ними фотон получает или отдаёт энергию Eф = |E₂ − E₁|, а по формуле Планка Eф = hν. Следовательно, hν = |E₂ − E₁| и ν = |E₂ − E₁|/h. Если нужна длина волны, используют Eф = hc/λ и получают λ = hc/|E₂ − E₁|; разность энергий для этих формул нужно выражать в джоулях, если h задана в единицах СИ.

Каждая пара уровней задаёт свою разность энергий, а значит, и частоту фотона. Поэтому атом может испускать или поглощать не свет любых частот, а только соответствующий возможным переходам. В спектре это проявляется как отдельные линии: каждой линии соответствует фотон определённой частоты. Набор линий зависит от расположения уровней и служит характерным признаком атома.

Состояния атома и переходы между энергетическими уровнями

Сначала определите, какое состояние имеет большую энергию: это более высокий уровень на диаграмме. Затем сравните начальное и конечное состояния, чтобы понять, поглощён фотон или испущен. Для вычислений энергии фотона используйте положительный модуль разности уровней.

Разбор задач

Задача 1. Энергия атома изменилась с E₁ = −5,0 эВ до E₂ = −3,0 эВ. Определите, поглотил атом фотон или испустил его, и найдите энергию фотона.

1. Сравним энергии начального и конечного состояний. Число −3,0 больше −5,0, поэтому конечное состояние имеет большую энергию.
2. Переход на более высокий уровень требует поступления энергии. Значит, атом поглотил фотон.
3. Найдём модуль разности: Eф = |E₂ − E₁| = |−3,0 − (−5,0)| эВ = 2,0 эВ.

Ответ: атом поглотил фотон энергией 2,0 эВ. Отрицательные значения уровней не означают отрицательную энергию фотона: для фотона берут модуль разности.

Задача 2. При переходе атома между уровнями испускается фотон с энергией 2,0 эВ. Найдите его частоту, используя E = hν.

1. Энергия фотона равна разности уровней, но для частоты достаточно известной энергии фотона.
2. Выразим частоту из формулы Планка: ν = E/h. Переведём энергию в СИ: 2,0 эВ × 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж/эВ = 3,204 × 10⁻¹⁹ Дж.
3. Подставим h = 6,626 × 10⁻³⁴ Дж·с: ν = (3,204 × 10⁻¹⁹)/(6,626 × 10⁻³⁴) ≈ 4,8 × 10¹⁴ Гц.

Ответ: частота фотона приблизительно равна 4,8 × 10¹⁴ Гц. При подстановке важно согласовать единицы: энергию берём в джоулях, а постоянную Планка — в Дж·с.

Задача 3. Атом переходит с уровня E₃ = −1,0 эВ на уровень E₁ = −6,0 эВ. Определите энергию и длину волны испускаемого фотона и объясните, почему возможны только определённые значения длины волны.

1. Конечный уровень ниже начального, поэтому атом теряет энергию и испускает фотон.
2. Энергия фотона равна модулю разности уровней: Eф = |−6,0 − (−1,0)| эВ = 5,0 эВ. Переведём её в джоули: Eф = 5,0 × 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж ≈ 8,01 × 10⁻¹⁹ Дж.
3. Используем Eф = hc/λ, откуда λ = hc/Eф. Подстановка c = 3,00 × 10⁸ м/с и h = 6,626 × 10⁻³⁴ Дж·с даёт λ ≈ 2,48 × 10⁻⁷ м, или 248 нм.

Ответ: энергия фотона равна 5,0 эВ, длина волны — примерно 248 нм. Уровни атома дискретны, поэтому разность их энергий тоже может принимать только определённые значения; отсюда следуют определённые длины волн.

Типичные ошибки

Считать, что связанный электрон может иметь любую энергию, — значит переносить на атом представление о непрерывном изменении энергии. Так ошибаются, когда забывают о квантовых условиях для состояний электрона. Проверка: для связанного электрона в атоме должны быть указаны разрешённые уровни, между которыми возможны переходы.

Путать поглощение и испускание часто заставляет привычка ориентироваться только на слова «энергия увеличилась» или «уменьшилась», не связывая их с фотоном. При переходе вверх атом получает энергию и поглощает фотон, при переходе вниз отдаёт энергию и испускает его. Проверьте направление перехода по начальной и конечной энергии.

Приравнивать энергию фотона к энергии одного уровня неверно: фотон связан с изменением состояния, а не с абсолютным значением энергии атома. Чтобы не допустить ошибку, запишите Eф = |E₂ − E₁|. Если по условию известен один уровень, но не дана разность или второй уровень, энергии фотона для перехода определить нельзя.

Использование разности энергий со знаком может дать отрицательное значение энергии фотона. Обычно это происходит, если порядок вычитания выбран произвольно. Перед вычислением проверьте направление перехода, а для энергии фотона используйте модуль разности: Eф = |E₂ − E₁|, поэтому результат положителен.

Связь с другими темами

Для работы с уровнями нужно знать формулы энергии фотона E = hν и E = hc/λ, а также смысл частоты и длины волны. Они позволяют перейти от разности энергий к характеристикам света и обратно. Линейчатые спектры объясняются тем, что возможны только определённые переходы между уровнями. По спектру можно судить о составе вещества — этот метод называют спектральным анализом. Понятие уровней также подготавливает к изучению строения атома и квантовых переходов.

Что запомнить

• Энергия связанного электрона в атоме принимает дискретные значения.
• Наименьшая энергия соответствует основному состоянию.
• Состояние с большей энергией называют возбуждённым.
• При переходе вверх атом поглощает энергию.
• При переходе вниз атом испускает фотон.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней.
• Дискретность уровней приводит к линейчатому спектру.