§21. Более сложные вопросы геометрической оптики

Определения и обозначения

Полное внутреннее отражение — явление, при котором свет при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную полностью отражается от границы раздела. Оптически более плотной называют среду с большим показателем преломления. Это понятие нужно, чтобы описывать случаи, когда луч не выходит из материала, а возвращается в него.

Предельный угол полного внутреннего отражения — угол падения, при котором преломлённый луч идёт вдоль границы раздела сред. Его обозначают αкр: при этом угол преломления равен 90°. Зная предельный угол, можно определить, при каком наклоне луч перестанет выходить во вторую среду.

Оптическое волокно — тонкая прозрачная нить, в которой свет распространяется благодаря многократному полному внутреннему отражению. Луч отражается от внутренней поверхности волокна и остаётся в его пределах. Это понятие объясняет, как можно передавать свет и сигналы по тонким, в том числе изогнутым, каналам.

Мнимое изображение — изображение, образованное продолжениями лучей; его нельзя получить на экране. Сам свет в точке такого изображения не собирается: лучи лишь кажутся выходящими оттуда. Это понятие помогает отличить видимое положение предмета от его действительного положения.

Как это устроено

При переходе света из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим луч отклоняется от перпендикуляра к границе. Причина в том, что по разные стороны границы свет распространяется с разными скоростями: в среде с меньшим показателем его скорость выше. Поэтому угол преломления становится больше угла падения, если оба угла отсчитывают от перпендикуляра.

Если постепенно увеличивать угол падения, угол преломления тоже будет увеличиваться. Это следует из закона преломления: n₁ sin α = n₂ sin β, где α — угол падения, а β — угол преломления. Когда β достигает 90°, преломлённый луч уже не уходит в глубину второй среды, а скользит вдоль границы; соответствующий α и называют предельным углом.

При ещё большем угле падения закон преломления не даёт действительного значения угла преломления: для синуса получилось бы значение больше единицы. Поэтому преломлённого луча нет, и свет полностью отражается обратно в первую среду. Условие можно получить из закона преломления при β = 90°: sin αкр = n₂/n₁, где n₁ > n₂; полное отражение возникает при α > αкр.

На границе воды и воздуха лучи от подводного предмета преломляются, поскольку меняют скорость при выходе из воды. Глаз воспринимает свет как распространяющийся прямолинейно и мысленно продолжает попавшие в него лучи назад. Эти продолжения пересекаются выше настоящего предмета, поэтому видимое мнимое изображение оказывается ближе к поверхности; реальное положение предмета при этом не меняется.

В оптическом волокне свет направляют так, чтобы он падал на границу между материалом волокна и внешней средой под углом больше предельного. Поскольку показатель преломления материала волокна обычно выше, на границе происходит полное внутреннее отражение. После многих таких отражений луч остаётся внутри и может следовать за изгибом волокна, а вместе с ним передаётся световой сигнал.

Поведение луча на границе двух сред

Сначала проверьте направление перехода и сравните показатели преломления: без этого полного внутреннего отражения быть не может. Затем сравните угол падения с предельным: равенство означает скользящий луч, а превышение — полное отражение. Если угол меньше предельного, свет преломляется, хотя часть его может отразиться.

Разбор задач

1. Переход из стекла в воздух

Свет падает из стекла с показателем преломления 1,5 в воздух под углом 50° к перпендикуляру. Нужно определить, возможно ли полное внутреннее отражение. Сначала проверим направление перехода: показатель стекла больше показателя воздуха, значит, необходимое условие выполнено. Теперь найдём предельный угол и сравним с ним заданные 50°.

1. Для границы стекло–воздух sin αкр = nвозд/nстекла = 1/1,5 ≈ 0,667. Это соотношение получается из закона преломления, когда угол преломления равен 90°.
2. По таблице синусов αкр ≈ 41,8°. Заданный угол 50° больше предельного, поэтому луч уже не может преломиться в воздух.
3. Следовательно, возникает полное внутреннее отражение. Если бы угол был меньше 41,8°, появился бы преломлённый луч, а при угле ровно 41,8° он шёл бы вдоль границы.

Ответ: полное внутреннее отражение возможно, поскольку свет идёт из стекла в воздух и угол 50° больше предельного угла, примерно равного 41,8°.

2. Предельный угол на границе вода–воздух

Даны показатели преломления воды nв = 1,33 и воздуха nа = 1,00. Найдём предельный угол при выходе света из воды в воздух. Сначала проверим направление: nв > nа, поэтому для такого перехода предельный угол существует. В условии его определения преломлённый луч направлен вдоль границы, то есть β = 90°.

1. Запишем закон преломления: nв sin αкр = nа sin 90°. Поскольку sin 90° = 1, получаем sin αкр = nа/nв.
2. Подставим значения: sin αкр = 1,00/1,33 ≈ 0,752. Это значение меньше единицы, поэтому угол существует.
3. Вычислим обратный синус: αкр ≈ 48,8°. При угле падения больше этого значения возникнет полное внутреннее отражение, а при меньшем — преломление.

Ответ: предельный угол для перехода из воды в воздух составляет приблизительно 48,8°.

3. Свет в стеклянном волокне

Волокно изготовлено из стекла с показателем преломления 1,5, снаружи находится воздух с показателем 1,0. Луч падает изнутри на стенку под углом 45° к перпендикуляру. Нужно проверить, останется ли свет внутри, и объяснить передачу сигнала. Сначала установим, что свет идёт из среды с большим показателем в среду с меньшим; затем сравним угол падения с предельным.

1. Для границы стекло–воздух sin αкр = 1,0/1,5 ≈ 0,667, поэтому αкр ≈ 41,8°. Предельный угол отсчитывается от перпендикуляра к стенке, как и заданный угол.
2. Угол падения 45° больше 41,8°. Значит, при попадании на стенку луч испытывает полное внутреннее отражение и не выходит в воздух.
3. После отражения луч продолжает путь внутри волокна и может отразиться от другой его стенки. Многократные отражения позволяют свету следовать по каналу, в том числе изогнутому, и передавать сигнал.

Ответ: свет останется в волокне, потому что выполняются условия полного внутреннего отражения.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что полное внутреннее отражение возможно при любом направлении перехода. Так путают само отражение с преломлением и не учитывают зависимость углов от показателей преломления. Проверьте себя: показатель преломления среды, из которой выходит свет, должен быть больше, чем у второй среды.

Ошибка: называть предельным угол преломления. Путаница возникает потому, что при предельном состоянии именно угол преломления равен 90°. Помните, что предельный угол — это угол падения; его определяют по условию β = 90°.

Ошибка: полагать, что при полном внутреннем отражении свет поглощается. Это происходит из-за неверного понимания слова «полное»: речь не о потере света, а о том, что он целиком отражается от границы. Проверьте направление луча после встречи с границей — он возвращается в первую среду.

Ошибка: принимать видимое положение предмета под водой за его реальное положение. Глаз мысленно продолжает преломлённые лучи прямолинейно, поэтому предмет кажется смещённым. Чтобы проверить себя, различайте сам предмет и его мнимое изображение, которое не является точкой, где действительно собирается свет.

Связь с другими темами

Для понимания полного внутреннего отражения понадобятся закон отражения, закон преломления и смысл показателя преломления. Эти знания позволяют установить направление луча и вычислить предельный угол. Само явление используется в оптоволоконной связи и медицинских эндоскопах: тонкие волокна помогают передавать свет и изображение по узким каналам. Понятие мнимого изображения пригодится при дальнейшем изучении линз и оптических приборов.

Что запомнить

• Полное внутреннее отражение возможно при переходе из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим.
• При предельном угле преломлённый луч направлен вдоль границы сред.
• При угле падения больше предельного свет полностью отражается.
• Предельный угол находят из закона преломления, полагая угол преломления равным 90°.
• Оптическое волокно передаёт свет благодаря полному внутреннему отражению.
• Мнимое изображение предмета под водой может находиться ближе к поверхности, чем сам предмет.