"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
Оптическая система — это несколько линз и других поверхностей, которые вместе изменяют ход световых лучей и создают изображение. Такие системы лежат в основе очков, микроскопов и телескопов. Чтобы рассчитывать их без ошибок, нужно учитывать оптическую силу каждого элемента, последовательно находить изображения и понимать, как меняется их размер и ориентация. Реальные линзы несовершенны: аберрации искажают изображение, но их влияние можно уменьшить.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Оптическая система — совокупность преломляющих и отражающих поверхностей, через которые проходит свет. Её рассматривают как единое целое: результат действия одного элемента становится начальным условием для следующего. Понятие нужно, чтобы описывать не только отдельную линзу, но и прибор с несколькими оптическими деталями.
Оптическая сила системы показывает, насколько сильно система собирает или рассеивает свет; её измеряют в диоптриях (дптр). Для тонкой линзы D = 1/F, где F — фокусное расстояние в метрах, а 1 дптр = 1 м⁻¹. Эта величина удобна при расчёте нескольких линз, поскольку для линз в контакте их силы складываются.
Увеличение оптической системы — отношение размера изображения к размеру предмета. Линейное увеличение Γ = h′/h сравнивает высоты предмета и изображения, а угловое показывает, во сколько раз изменился угол, под которым виден предмет. Различие важно: первое относится к размерам изображения, второе — к его видимому размеру для наблюдателя.
Аберрация — отклонение реального изображения от идеального, возникающее из-за особенностей оптической системы. Сферическая аберрация связана с неодинаковым преломлением центральных и краевых лучей, а хроматическая — с зависимостью преломления от цвета света. Эти термины помогают объяснить размытость и цветные контуры на изображении.
При построении изображения обычно рассматривают параксиальные лучи — лучи, идущие близко к главной оптической оси и под небольшими углами к ней. В этом приближении ход лучей описывается простыми формулами тонкой линзы. Лучи, проходящие далеко от оси, преломляются иначе: поверхность линзы меняет их направление сильнее, поэтому они могут пересекаться не в той точке, что параксиальные. В результате края изображения оказываются размытыми, хотя расчёт для лучей у оси предсказывает чёткую точку.
В системе из двух линз сначала строят изображение предмета, образованное первой линзой. Затем именно это промежуточное изображение рассматривают как предмет для второй линзы и применяют формулу тонкой линзы ещё раз. Причина такого последовательного расчёта проста: вторая линза принимает не исходный предмет, а уже изменённый первой линзой пучок лучей. При этом промежуточное изображение может быть мнимым, то есть лучи после первой линзы не сходятся в нём, а лишь кажутся выходящими из этой точки.
Если тонкие линзы расположены вплотную, свет проходит их одну за другой практически в одной плоскости. Действие первой линзы изменяет сходимость лучей, а вторая добавляет к этому изменению своё действие, поэтому складываются оптические силы с учётом знаков: Dсист = D₁ + D₂. Собирающая линза имеет положительную силу, рассеивающая — отрицательную; так учитывается, усиливают ли линзы друг друга или частично компенсируют. Фокусное расстояние системы находят после сложения: Fсист = 1/Dсист, если D выражена в дптр, а F — в метрах.
Для каждой части системы можно определить собственное линейное увеличение Γ. Размер конечного изображения относительно исходного получается последовательным изменением размера: сначала действует первая часть, затем вторая, поэтому Γобщ = Γ₁ · Γ₂. Например, два увеличения по модулю 2 дают общее увеличение по модулю 4. Знак также перемножается: отрицательный знак означает переворот относительно предыдущего предмета, поэтому два переворота могут дать в итоге прямое изображение.
Сферическая аберрация возникает потому, что линза не собирает в одну точку лучи, идущие близко к оси и далеко от неё. Диафрагма ограничивает проход краевых лучей, оставляя область, где приближение параксиальной оптики работает точнее. Хроматическая аберрация появляется потому, что показатель преломления материала зависит от длины волны: разные цвета отклоняются по-разному и фокусируются на разных расстояниях. Для её уменьшения подбирают собирающие линзы из разных материалов, чьи цветовые отклонения частично компенсируются.
| Случай | Правило или характеристика | Что показывает |
|---|---|---|
| Две тонкие линзы в контакте | Dсист = D₁ + D₂ | Общую оптическую силу с учётом знаков |
| Оптическая сила системы | D = 1/F; единица — диоптрия | Способность системы собирать или рассеивать свет |
| Увеличение системы | Γобщ = Γ₁ · Γ₂ | Изменение размера и ориентацию изображения |
| Сферическая аберрация | Краевые лучи фокусируются иначе, чем параксиальные | Размытость изображения; её уменьшают диафрагмой |
| Хроматическая аберрация | Лучам разных цветов соответствуют разные фокусы | Цветные контуры; помогают линзы из разных материалов |
В таблице сначала найдите случай, соответствующий задаче или наблюдаемому эффекту, а затем используйте правило из среднего столбца. При сложении сил и увеличений проверяйте знаки, поскольку они влияют на физический смысл результата. Последний столбец помогает связать расчёт с тем, как будет выглядеть изображение.
Условие: две тонкие линзы сложены вплотную, их оптические силы равны +5 дптр и −2 дптр. Требуется найти силу системы и её фокусное расстояние. Отрицательный знак второй линзы указывает, что она рассеивающая и частично компенсирует действие первой.
Записываем правило для линз в контакте: Dсист = D₁ + D₂. Складываем с учётом знаков: Dсист = +5 + (−2) = +3 дптр. Положительный итог означает, что система в целом собирающая.
Используем связь силы с фокусным расстоянием: F = 1/D. Подставляем силу в единицах дптр: F = 1/3 м ≈ 0,33 м, или около 33 см. Полученное положительное фокусное расстояние согласуется с тем, что система собирающая.
Ответ: Dсист = +3 дптр, F ≈ +0,33 м.
Условие: предмет находится в 30 см перед первой линзой; её фокусное расстояние равно 10 см. Вторая линза с фокусным расстоянием 10 см расположена на 20 см правее первой. Найдём положение конечного изображения. Все расстояния в расчёте отсчитываем от соответствующей линзы.
Для первой линзы применяем формулу 1/F = 1/a + 1/b, где a — расстояние до предмета, b — до изображения. Получаем 1/10 = 1/30 + 1/b, откуда 1/b = 1/15 и b = 15 см. Промежуточное изображение находится справа от первой линзы.
Вторая линза стоит в 20 см от первой, значит, промежуточное изображение расположено в 5 см слева от неё. Это реальный предмет для второй линзы, поэтому a₂ = 5 см. Подставляем: 1/10 = 1/5 + 1/b₂, откуда 1/b₂ = −1/10 и b₂ = −10 см.
Отрицательное b₂ означает, что конечное изображение мнимое и расположено слева от второй линзы. Чтобы указать его положение относительно первой, прибавляем расстояние между линзами: оно находится в 10 см правее первой линзы.
Ответ: конечное изображение мнимое, в 10 см справа от первой линзы, то есть в 10 см слева от второй.
Условие: две части оптической системы имеют увеличения Γ₁ = −2 и Γ₂ = +3. Высота предмета равна 2 см. Нужно определить размер и ориентацию конечного изображения. Отрицательное увеличение первой части означает переворот промежуточного изображения.
Находим общее увеличение последовательной системы: Γобщ = Γ₁ · Γ₂. Подставляем значения: Γобщ = (−2) · (+3) = −6. Значит, конечное изображение в шесть раз больше предмета по модулю.
Размер вычисляем по модулю увеличения: |h′| = |Γобщ| · h = 6 · 2 см = 12 см. Отрицательный знак результата показывает, что конечное изображение перевёрнуто относительно исходного предмета.
Проверяем смысл знака по действиям частей: первая часть перевернула изображение, а вторая оставила его прямым относительно промежуточного. Поэтому после двух этапов конечная ориентация остаётся перевёрнутой относительно исходного предмета.
Ответ: высота изображения 12 см, оно перевёрнуто.
Складывают фокусные расстояния вместо оптических сил. Ошибка возникает из-за того, что фокусное расстояние кажется естественной характеристикой линзы. Но для линз в контакте складываются именно D₁ и D₂, а фокусное расстояние находят уже из итоговой силы. Проверка: убедитесь, что сначала получено значение в диоптриях, и только потом использована формула F = 1/D.
Не учитывают знаки оптических сил и фокусных расстояний. Тогда рассеивающую линзу можно ошибочно принять за собирающую, а частичную компенсацию — за усиление. Знаки нужно задавать по типу линзы и сохранять во всех вычислениях. Проверка: положительное фокусное расстояние относится к собирающей линзе, отрицательное — к рассеивающей.
Считают, что предмет для второй линзы обязательно расположен перед ней. Промежуточное изображение может оказаться за второй линзой, и тогда для неё оно будет мнимым предметом. Ошибка появляется, если не нанести на схему обе линзы и положение промежуточного изображения. Проверка: определите, куда направлены лучи, попадающие на вторую линзу, и лишь затем задавайте знак расстояния до предмета.
Смешивают модуль увеличения с увеличением со знаком. Модуль показывает отношение размеров, а знак сообщает, прямое изображение или перевёрнутое. Если отбросить знак при перемножении увеличений, можно неверно определить ориентацию конечного изображения. Проверка: отдельно вычислите размер по модулю, а затем истолкуйте знак полного произведения.
Для расчётов систем линз нужны закон отражения и преломления света, построение изображений и формула тонкой линзы: без них нельзя установить ход лучей и положение промежуточного изображения. Сложение оптических сил и последовательное построение изображений применяются при изучении микроскопа, телескопа и других приборов. Аберрации связывают геометрическую оптику с реальными объективами и показывают, почему оптические схемы приходится корректировать.
Как найти фокусное расстояние двух линз, сложенных вплотную?
Сначала сложите оптические силы линз с учётом знаков: D = D₁ + D₂. Затем найдите фокусное расстояние по формуле F = 1/D, если сила выражена в диоптриях, а расстояние нужно получить в метрах.
Почему при расчёте системы линз нужно учитывать знаки оптических сил?
Собирающая линза имеет положительную оптическую силу, а рассеивающая — отрицательную. Знаки показывают, усиливают или ослабляют линзы действие друг друга, поэтому без них результат может быть неверным.
Как определить, где находится предмет для второй линзы?
Сначала найдите изображение, создаваемое первой линзой. Его положение относительно второй линзы и будет положением предмета для неё: изображение может оказаться как перед второй линзой, так и за ней.
Как понять по увеличению, будет ли изображение перевёрнутым?
Для линейного увеличения знак показывает ориентацию: положительное значение соответствует прямому изображению, отрицательное — перевёрнутому. Модуль увеличения показывает, во сколько раз изменился размер.
Почему реальные линзы дают изображение хуже идеального?
Лучам, проходящим через линзу на разном расстоянии от оси, и лучам разных цветов линза может сообщать разное преломление. Из-за этого изображение размывается или окрашивается; диафрагмирование и подбор линз из разных материалов уменьшают такие искажения.
§21. Более сложные вопросы геометрической оптики
