§ 21. Более сложные вопросы геометрической оптики

Определения и обозначения

Оптическая система — совокупность преломляющих и отражающих поверхностей, которые изменяют направление лучей и образуют изображение. Линзы преломляют свет, зеркала отражают его, поэтому каждый элемент меняет дальнейший ход лучей. Понятие нужно, чтобы рассматривать не отдельную линзу, а весь прибор как последовательность действующих частей.

Линейное увеличение Γ = h′/h — отношение размера изображения к размеру предмета. Модуль Γ показывает, во сколько раз изображение больше или меньше, а знак показывает его ориентацию: «плюс» означает прямое изображение, «минус» — перевёрнутое. Эта величина нужна для оценки размеров изображения.

Угловое увеличение — отношение угла, под которым предмет виден через прибор, к углу зрения невооружённым глазом. Оно показывает не размер изображения, а то, насколько крупнее предмет кажется наблюдателю. Поэтому именно угловое увеличение используют для лупы и окуляра.

Оптическая сила D = 1/f характеризует способность системы собирать или рассеивать лучи; фокусное расстояние f берут в метрах, а D измеряют в диоптриях. Для тонкой собирающей линзы D положительна, для рассеивающей — отрицательна. Чем меньше по модулю фокусное расстояние, тем сильнее линза изменяет ход лучей.

Как это устроено

Построение системы из нескольких линз начинают с первой линзы, потому что лучи сначала взаимодействуют именно с ней. По формуле тонкой линзы находят положение её изображения, а затем переносят результат к следующей линзе. Так сохраняется правильная последовательность действий и не смешиваются расстояния, относящиеся к разным линзам.

Изображение первой линзы становится предметом для второй, даже если оно не существует в точке, куда можно поставить экран. Для второй линзы измеряют расстояние от её центра до этого промежуточного изображения с учётом принятого правила знаков. Причина такого подхода в том, что вторая линза работает уже с новым пучком лучей.

Расстояние между линзами влияет на итог, поскольку промежуточное изображение перемещается относительно второй линзы. Поэтому оптические силы разнесённых линз нельзя всегда просто сложить: результат зависит и от геометрии системы. Простое сложение D₁ + D₂ справедливо для тонких линз, расположенных вплотную.

Увеличение сложной системы равно произведению увеличений её последовательных частей: Γ = Γ₁Γ₂. Первая линза меняет размер и ориентацию изображения, а вторая действует уже на этот промежуточный результат. Знак произведения показывает, будет ли итоговое изображение прямым или перевёрнутым.

Лупа помещает предмет между собирающей линзой и её фокусом, поэтому лучи после линзы расходятся так, будто выходят из увеличенного мнимого изображения. Глаз рассматривает это изображение под большим углом, чем сам предмет без прибора. При наблюдении с комфортного расстояния, обычно при расслабленном глазе, увеличение определяется фокусным расстоянием: M ≈ 25 см/f.

В телескопе объектив собирает почти параллельные лучи от далёкого объекта и создаёт промежуточное изображение, а окуляр рассматривает его как лупа. В микроскопе объектив расположен близко к малому предмету и формирует увеличенное промежуточное изображение внутри тубуса. Окуляр обоих приборов увеличивает угол зрения, но назначение объективов различается: телескоп работает с далёкими объектами, микроскоп — с близкими.

Сравнение оптических приборов и систем

Таблица помогает отличить назначение приборов и не смешивать линейное увеличение с угловым. При решении задачи сначала определите, какой элемент создаёт изображение, а затем выясните, что именно увеличивается на следующем этапе.

Разбор задач

Система из двух линз

Условие. Две тонкие линзы расположены на одной оси. Для предмета перед первой линзой требуется определить положение и характер итогового изображения.

1. Для первой линзы задайте расстояние до предмета и по формуле тонкой линзы найдите расстояние до изображения. По знаку и величине результата определите, действительное оно или мнимое.
2. Из найденной точки проведите отсчёт до второй линзы. Это новое расстояние является предметным расстоянием второй линзы; если изображение первой линзы мнимое, оно учитывается как мнимый предмет.
3. Снова примените формулу тонкой линзы и найдите изображение второй линзы. Перемножьте увеличения Γ₁ и Γ₂, чтобы установить размер и ориентацию итогового изображения.

Ответ. Итоговое изображение находят только последовательным расчётом для каждой линзы. Оно будет прямым при Γ₁Γ₂ > 0 и перевёрнутым при Γ₁Γ₂ < 0.

Угловое увеличение лупы

Условие. Лупа имеет фокусное расстояние f, а предмет рассматривают с комфортного расстояния, равного 25 см. Найти угловое увеличение.

1. Без лупы угол зрения примерно равен отношению размера предмета к расстоянию 25 см.
2. При настройке лупы изображение рассматривают расслабленным глазом, поэтому угловой размер примерно равен отношению размера предмета к f.
3. Разделите второй угол на первый: M ≈ (h/f)/(h/25 см) = 25 см/f. Фокусное расстояние нужно подставлять в тех же единицах, что и 25 см.

Ответ. Угловое увеличение лупы при комфортном наблюдении равно M ≈ 25 см/f. Чем меньше фокусное расстояние, тем больше увеличение.

Увеличение микроскопа

Условие. Известны фокусные расстояния объектива fоб и окуляра fок, а также длина тубуса L. Определить увеличение микроскопа.

1. Объектив создаёт промежуточное изображение и даёт линейное увеличение примерно Γоб ≈ L/fоб.
2. Окуляр рассматривает это изображение как лупа, поэтому его угловое увеличение при комфортном наблюдении равно Mок ≈ 25 см/fок.
3. Перемножьте результаты двух этапов: M ≈ (L/fоб)(25 см/fок). Перед вычислением приведите L, fоб, fок и 25 см к одинаковым единицам.

Ответ. Увеличение микроскопа приблизительно равно M ≈ (L/fоб)(25 см/fок). Знак и ориентацию изображения определяют отдельно по знакам увеличений объективной и окулярной частей.

Типичные ошибки

Складывают оптические силы разнесённых линз. Так делают, вспоминая формулу для линз вплотную и забывая о промежуточном изображении. Проверьте расстояние между линзами: если оно заметно, рассчитывайте элементы последовательно.

Подставляют расстояние до первой линзы как расстояние до второй. Ошибка возникает, когда систему воспринимают как одну линзу. Для проверки заново отметьте положение изображения первой линзы и измерьте расстояние от него до второй.

Считают любое увеличение линейным. В лупе и окуляре сравнивают углы зрения, а не размеры изображения на экране. Спросите себя, что видит глаз: изменение длины изображения означает линейное увеличение, изменение угла — угловое.

Не учитывают знак линейного увеличения. Тогда можно правильно найти размер, но неверно назвать изображение прямым или перевёрнутым. Перемножьте знаки увеличений всех частей и проверьте итоговый знак.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны построение изображений в тонкой линзе, формула тонкой линзы и правила знаков для расстояний. Без них невозможно правильно определить промежуточный предмет второй линзы.

Тема опирается на закон преломления света и понятие угла зрения. Они объясняют, почему линза меняет направление лучей, а прибор делает объект визуально крупнее.

Принципы оптических систем пригодятся при изучении строения глаза и способов коррекции зрения. Те же идеи лежат в основе луп, телескопов, микроскопов и других оптических приборов.

Что запомнить

• В сложной системе изображение одного элемента может быть предметом для следующего.
• Для каждой линзы отдельно определяют расстояние до предмета и до изображения.
• Увеличение системы из последовательных частей находят перемножением их увеличений.
• Линейное и угловое увеличение — разные характеристики.
• Лупа увеличивает угловой размер предмета.
• В телескопе и микроскопе объектив создаёт промежуточное изображение, которое рассматривают через окуляр.