§ 4. Проводники и заряженные частицы в магнитном поле

Определения и обозначения

Сила Ампера — сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током. Её модуль равен F = IBl sin α, где I — сила тока, B — магнитная индукция, l — длина участка проводника в поле, а α — угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. Эта формула нужна, чтобы рассчитать действие поля на проводник; учитывается именно часть проводника, находящаяся в поле.

Правило левой руки помогает определить направление силы Ампера или силы Лоренца для положительного заряда. Левую руку располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а вытянутые пальцы указывали направление тока или скорости положительного заряда; отогнутый на 90° большой палец показывает направление силы. Правило связывает три взаимно перпендикулярных направления и позволяет предсказать, куда отклонится проводник или частица.

Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся заряженный объект в магнитном поле. Для отдельной частицы её модуль равен F = |q|vB sin α, где q — заряд частицы, v — её скорость, а α — угол между скоростью и магнитной индукцией. Формула нужна для расчёта силы, а знак заряда учитывают отдельно при определении направления.

Радиус траектории заряженной частицы — радиус окружности, по которой частица движется в однородном магнитном поле, если её скорость перпендикулярна полю. Он определяется соотношением r = p / (|q|B) = mv / (|q|B), где p — импульс, m — масса, а |q| — модуль заряда. Эта зависимость показывает, как по кривизне пути судить об импульсе частицы или о свойствах поля.

Как это устроено

В проводнике с током есть движущиеся заряженные частицы. Магнитное поле действует на каждую из них, и их силы складываются, поэтому результирующее действие передаётся веществу проводника через взаимодействие зарядов с его частицами. Так возникает сила Ампера, способная перемещать проводник целиком. Её направление зависит от направления тока и поля, а величина — от того, насколько участок проводника расположен поперёк поля.

Угол α в формуле F = IBl sin α показывает, какая доля тока направлена поперёк магнитного поля. При параллельном или противоположном направлениях ток не пересекает линии поля, sin α = 0, поэтому сила равна нулю. Когда ток направлен перпендикулярно полю, sin α = 1 и сила максимальна. При промежуточном угле действует промежуточное значение силы; удвоение тока или длины участка в поле при прочих равных удваивает её модуль.

На отдельную движущуюся частицу магнитное поле действует силой Лоренца. Её направление перпендикулярно и скорости, и магнитной индукции; для положительного заряда его находят правилом левой руки. Отрицательный заряд отклоняется в противоположную сторону, потому что знак заряда меняет направление силы. Синус угла в формуле объясняет, почему при движении вдоль поля сила исчезает, а при движении поперёк поля достигает максимума.

Поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости, перемещение частицы в каждый момент направлено не вдоль силы. Работа силы равна нулю, следовательно, магнитное поле не меняет кинетическую энергию и модуль скорости частицы. Но направление скорости изменяется, поэтому меняется траектория. Это отличает магнитное действие от разгона вдоль движения: поле отклоняет частицу, но само по себе не сообщает ей энергию.

Если скорость перпендикулярна однородному полю, сила Лоренца всё время направлена к центру кривизны пути. Она играет роль центростремительной силы: |q|vB = mv²/r, откуда r = mv / (|q|B). Значит, частица движется по окружности, причём радиус растёт с импульсом и уменьшается с модулем заряда и индукцией. Если у скорости есть составляющая вдоль поля, она не испытывает магнитной силы и сохраняется, пока поперечная составляющая задаёт круговое движение; вместе они образуют винтовую траекторию.

Сила магнитного поля на проводник и заряженную частицу

Сначала выясните, на какой объект действует поле: на проводник с током или на отдельную частицу. Затем выберите соответствующую формулу и подставьте угол между нужным направлением движения и магнитной индукцией. Направление силы определяйте отдельно от её модуля.

Разбор задач

Задача 1

Прямой проводник длиной 0,20 м с током 3,0 А находится в однородном поле с индукцией 0,40 Тл перпендикулярно линиям поля. Найдите силу Ампера. Здесь дан участок проводника целиком, поэтому его длина и есть l в формуле. Перпендикулярность означает, что синус угла равен единице.

1. Записываем F = IBl sin α.
2. Подставляем числа: F = 3,0 · 0,40 · 0,20 · 1 = 0,24 Н.
3. Проверяем единицы: ампер, тесла и метр дают ньютон.

Ответ: 0,24 Н.

Задача 2

Положительный заряд 2,0 мкКл движется со скоростью 5,0·10⁴ м/с перпендикулярно полю с индукцией 0,30 Тл. Найдите модуль силы Лоренца и определите её направление по рисунку. Для численного ответа важны модуль заряда и угол; перпендикулярность даёт sin α = 1. Направление нельзя назвать без сведений о том, куда направлены скорость и поле на рисунке, поэтому его определяют по правилу.

1. Переводим заряд в кулоны: |q| = 2,0·10⁻⁶ Кл.
2. Подставляем: F = |q|vB sin α = 2,0·10⁻⁶ · 5,0·10⁴ · 0,30 · 1 = 3,0·10⁻² Н.
3. Для положительного заряда располагаем левую руку по направлению поля и скорости; большой палец укажет силу.

Ответ: 0,030 Н; направление — по правилу левой руки для указанных на рисунке направлений.

Задача 3

Протон влетает перпендикулярно в однородное магнитное поле с индукцией 0,20 Тл со скоростью 4,0·10⁶ м/с. Найдите радиус траектории и объясните, как он изменится при удвоении скорости. Масса протона m ≈ 1,67·10⁻²⁷ кг, заряд q ≈ 1,60·10⁻¹⁹ Кл. Так как скорость поперечна полю, сила Лоренца обеспечивает центростремительное ускорение.

1. Приравниваем силы: |q|vB = mv²/r, откуда r = mv/(|q|B).
2. Подставляем: r = 1,67·10⁻²⁷ · 4,0·10⁶ / (1,60·10⁻¹⁹ · 0,20) ≈ 0,21 м.
3. Из формулы видно, что r прямо пропорционален v, если остальные величины неизменны.

Ответ: примерно 0,21 м; при удвоении скорости радиус станет примерно 0,42 м.

Типичные ошибки

Ошибка: считать магнитную силу направленной вдоль скорости. Тогда кажется, что поле разгоняет частицу, но сила Лоренца направлена поперёк скорости. Проверка проста: убедитесь, что найденное направление перпендикулярно скорости; тогда сила меняет направление движения, а не его модуль.

Ошибка: не учитывать угол между движением и полем. Иногда в формуле сразу принимают sin α равным единице, хотя это верно только для перпендикулярных направлений. Перед подстановкой изобразите направления тока или скорости и поля: параллельно им соответствует нулевая сила, перпендикулярно — максимальная.

Ошибка: для отрицательного заряда применять правило левой руки так же, как для положительного. Правило сначала задаёт направление силы для положительного заряда, поэтому у отрицательного оно будет противоположным. Проверяйте знак заряда до того, как записать окончательное направление.

Ошибка: подставлять полную длину проводника, хотя в поле находится только его часть. Это завышает силу Ампера, потому что формула учитывает лишь участок, на который действует поле. Уточните границы области поля и подставляйте длину находящегося в ней участка, а не длину всего провода.

Связь с другими темами

Для работы с магнитным действием нужны понятия магнитной индукции, силы тока, заряда и скорости, а также второй закон Ньютона: именно его применяют, связывая силу Лоренца с центростремительным ускорением. Так движение зарядов связывает описание магнитного поля с механикой. Сила Ампера объясняет работу электродвигателей, громкоговорителей и измерительных приборов. Радиус траектории частиц используют при изучении ускорителей, масс-спектрометров и движения заряженных частиц в космических полях.

Что запомнить

• Сила Ампера действует на проводник с током в магнитном поле.
• Сила Лоренца действует на движущийся заряд.
• Модули сил зависят от синуса угла между направлением движения и магнитной индукцией.
• Магнитная сила перпендикулярна скорости и не изменяет кинетическую энергию частицы.
• Направление силы определяют правилом левой руки; для отрицательного заряда его обращают.
• При движении поперёк однородного поля частица движется по окружности.
• При наличии составляющей скорости вдоль поля траектория частицы винтовая.