§ 4. Проводники и заряженные частицы в магнитном поле

Определения и обозначения

Магнитная индукция — векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле; её обозначают B и измеряют в теслах (Тл). Вектор показывает направление действия поля на положительный движущийся заряд. Эта величина входит в формулы магнитных сил и позволяет сравнивать разные поля.

Сила Ампера — сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током. Для прямого участка её модуль равен Fₐ = BIl sin α, где I — сила тока, l — длина участка, а α — угол между проводником и вектором магнитной индукции. Формула нужна, чтобы находить механическое действие поля на проводник.

Сила Лоренца — сила, действующая магнитным полем на движенную заряженную частицу: Fл = |q|vB sin α. Здесь q — заряд частицы, v — её скорость, а α — угол между скоростью и магнитным полем. С помощью этой силы объясняют искривление траекторий электронов и ионов.

Правило левой руки определяет направление силы Ампера или силы Лоренца. Если линии магнитной индукции входят в ладонь, а вытянутые пальцы направлены по току или по скорости положительного заряда, отставленный большой палец показывает силу. Для отрицательной частицы направление нужно изменить на противоположное.

Как это устроено

Проводник с током испытывает действие магнитного поля потому, что ток создаётся движением заряженных частиц. На каждый такой заряд действует сила Лоренца, а взаимодействие зарядов с веществом проводника передаёт суммарную силу всему проводнику. Именно эта сумма и называется силой Ампера.

Величина силы Ампера зависит от взаимного расположения проводника и поля через множитель sin α. При перпендикулярности проводника и линий магнитной индукции α = 90° и sin α = 1, поэтому сила максимальна: Fₐ = BIl. При параллельности α = 0° и сила равна нулю.

Направление силы находят правилом левой руки, заранее зафиксировав направление тока, поля и искомой силы. В проводнике используют условное направление тока — движение положительных зарядов. Для отдельной частицы пальцы направляют по её скорости, но для отрицательного заряда полученный результат разворачивают.

Магнитное поле не изменяет кинетическую энергию заряженной частицы, потому что сила Лоренца всегда перпендикулярна её скорости. Работа силы равна нулю: A = Fs cos 90° = 0. Поэтому поле может менять направление движения, но не модуль скорости.

Если скорость перпендикулярна полю, сила Лоренца играет роль центростремительной и частица движется по окружности. При наличии составляющей скорости вдоль поля эта составляющая сохраняется, а поперечная создаёт круговое движение, поэтому траектория становится винтовой. Радиус окружности r = mv/(|q|B): он увеличивается с массой и скоростью, но уменьшается с ростом заряда по модулю и магнитной индукции.

Действие магнитного поля на проводник с током и заряженную частицу

Таблица помогает сопоставить действие поля на систему зарядов и на одну частицу. При решении задачи сначала определите, какой объект рассматривается, затем выберите соответствующую формулу и правило для направления.

Разбор задач

Задача 1

Проводник длиной 20 см расположен перпендикулярно полю B = 0,4 Тл, ток I = 5 А. Требуется найти силу Ампера и определить её направление по рисунку.

1. Переведём длину: l = 0,20 м. Угол между проводником и полем равен 90°, поэтому sin α = 1.
2. Подставим данные: Fₐ = BIl sin α = 0,4 · 5 · 0,20 · 1 = 0,4 Н.
3. Для направления поместим левую ладонь так, чтобы линии поля входили в неё, а пальцы указывали направление тока. Большой палец покажет направление силы на проводник.

Ответ: Fₐ = 0,4 Н; направление определяется большим пальцем левой руки по направлениям поля и тока на рисунке.

Задача 2

Электрон летит со скоростью v = 2·10⁶ м/с перпендикулярно полю B = 0,1 Тл. Найдём модуль силы Лоренца.

1. Берём модуль заряда электрона: |q| = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. При перпендикулярном движении sin α = 1.
2. Fл = |q|vB = 1,6·10⁻¹⁹ · 2·10⁶ · 0,1 = 3,2·10⁻¹⁴ Н.
3. Правило левой руки сначала даёт направление для положительного заряда. Для электрона силу направляем противоположно найденному результату.

Ответ: Fл = 3,2·10⁻¹⁴ Н; направление противоположно направлению, полученному для положительного заряда.

Задача 3

Частица массой m и зарядом q движется перпендикулярно полю B. Выведем радиус окружности и период обращения.

1. Сила Лоренца является центростремительной: |q|vB = mv²/r.
2. Отсюда r = mv/(|q|B). Чем больше скорость, тем больше радиус.
3. Период T = 2πr/v. После подстановки получаем T = 2πm/(|q|B), поэтому при увеличении скорости период не меняется, а радиус растёт прямо пропорционально скорости.

Ответ: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B); при увеличении v радиус увеличивается, период остаётся прежним.

Типичные ошибки

Используют формулу Fₐ = BIl без множителя sin α, хотя проводник может быть наклонён к полю. Ошибка возникает из-за запоминания частного случая перпендикулярного расположения. Проверьте угол: если он не равен 90°, обязательно добавьте sin α.

Для отрицательного заряда оставляют направление силы таким же, как для положительного. Причина — правило левой руки формулируют сначала для условного положительного заряда. Подпишите знак q и после построения направления разверните результат для электрона.

Считают, что магнитное поле разгоняет частицу и изменяет её кинетическую энергию. Так бывает, если путают изменение направления скорости с изменением её модуля. Проверьте перпендикулярность силы и скорости: при ней работа магнитной силы равна нулю.

Путают направление поля, скорости или тока при применении правила левой руки. Обычно это происходит, когда несколько направлений определяют одновременно. Сначала отдельно запишите каждое исходное направление, затем установите ладонь и пальцы.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны понятия магнитного поля, магнитной индукции, электрического тока, силы и векторного произведения. Вывод движения частицы опирается на равномерное движение по окружности, центростремительную силу и второй закон Ньютона. Эти знания применяются при изучении масс-спектрографа, циклотрона, ускорителей частиц, эффекта Холла и электродвигателей.

Что запомнить

• Сила Ампера действует на проводник с током в магнитном поле.
• Сила Лоренца действует на движенную заряженную частицу.
• Модуль силы Ампера равен BIl sin α.
• Модуль силы Лоренца равен |q|vB sin α.
• Магнитная сила максимальна при перпендикулярном движении или расположении проводника и равна нулю при параллельном.
• Магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей.
• Перпендикулярное полю движение частицы происходит по окружности, а при продольной составляющей скорости — по винтовой линии.