§ 3. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле. Она определяет, как поле отклоняет электрон, протон или другую частицу. Для полной силы учитывают также электрическое поле, но в этом параграфе рассматривается магнитная составляющая.

Магнитная составляющая силы Лоренца — сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле. Её модуль равен F = |q|vB sin α, где |q| — модуль заряда, v — скорость частицы, B — магнитная индукция, а α — угол между скоростью и полем. Формула позволяет заранее определить величину отклонения частицы.

Правило левой руки помогает найти направление силы для положительного заряда: линии магнитной индукции должны входить в ладонь, четыре пальца направляют по скорости, а отогнутый большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда результат нужно обратить на противоположный. Это правило связывает взаимное расположение скорости, поля и силы.

Как это устроено

Магнитное поле действует магнитной силой только на движущийся заряд, потому что источником такой силы является движение заряда относительно поля. В формуле есть множитель v, поэтому при v = 0 магнитная составляющая исчезает. Неподвижный заряд может взаимодействовать с электрическим полем, но магнитной силой не отклоняется.

Модуль силы растёт с увеличением модуля заряда, скорости и магнитной индукции: F = |q|vB sin α. Угол α показывает, какая часть скорости направлена поперёк поля. Поэтому при α = 90° сила максимальна, а при α = 0° или 180° она равна нулю.

Сила Лоренца перпендикулярна и скорости частицы, и вектору магнитной индукции. Такое направление задаётся векторным произведением и определяется правилом левой руки для положительного заряда. У отрицательного заряда знак заряда меняет направление силы на противоположное.

Если скорость полностью перпендикулярна полю, сила всё время играет роль центростремительной и поворачивает частицу по окружности. При наличии составляющей скорости вдоль поля эта составляющая сохраняется, а поперечная часть создаёт круговое движение. Сочетание поступательного и кругового движений даёт винтовую линию.

Работа силы равна произведению силы на перемещение и косинус угла между ними. Поскольку магнитная сила перпендикулярна скорости, а значит и мгновенному перемещению, её работа равна нулю. Поэтому она меняет направление вектора скорости, но не его модуль и не кинетическую энергию.

Действие магнитной составляющей силы Лоренца

Сначала найдите угол между скоростью и магнитным полем, а затем выберите соответствующую строку. Если угол не равен 90°, в движении нужно разделить скорость на поперечную и продольную составляющие. Таблица показывает именно действие магнитной составляющей, без возможной электрической силы.

Разбор задач

Задача 1

Заряд 2 мкКл движется со скоростью 3·10⁵ м/с перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией 0,4 Тл. Требуется найти модуль магнитной силы. Угол между скоростью и полем равен 90°, поэтому синус угла равен единице.

1. Переведём заряд в СИ: 2 мкКл = 2·10⁻⁶ Кл.
2. Используем F = |q|vB sin α и подставим α = 90°.
3. Получим F = 2·10⁻⁶ · 3·10⁵ · 0,4 · 1 = 0,24 Н.

Ответ: модуль силы равен 0,24 Н. При перпендикулярном движении это максимально возможная сила при данных |q|, v и B.

Задача 2

Положительный заряд движется на север, а магнитное поле направлено вертикально вниз. Нужно определить направление силы Лоренца. Для положительного заряда направление находят непосредственно правилом левой руки.

1. Поворачиваем левую ладонь так, чтобы линии поля входили в неё, то есть направляем ладонь навстречу вертикальному полю.
2. Четыре пальца направляем на север, по скорости положительного заряда.
3. Отогнутый большой палец показывает направление силы — на запад.

Ответ: сила Лоренца направлена на запад. Для отрицательного заряда при тех же направлениях движения и поля она была бы направлена на восток.

Задача 3

Протон влетает перпендикулярно однородному магнитному полю со скоростью v. Требуется найти радиус траектории и понять, как он изменится при увеличении скорости вдвое. Сила Лоренца в этом случае постоянно перпендикулярна скорости и является центростремительной силой.

1. Приравняем магнитную силу и центростремительную: |q|vB = mv²/R.
2. Выразим радиус: R = mv/(|q|B).
3. Для протона |q| = e, поэтому R = mₚv/(eB). При v₂ = 2v радиус R₂ = 2R.

Ответ: радиус равен R = mₚv/(eB), а при увеличении скорости вдвое он также увеличится вдвое. Это верно при неизменных магнитной индукции и заряде частицы.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать F = |q|vB без синуса угла. Так поступают, когда запоминают только частный случай перпендикулярного движения. Проверьте угол: если α не равен 90°, обязательно добавьте множитель sin α.

Ошибка: считать, что сила действует на неподвижный заряд или при движении вдоль поля. Причина — смешение электрического и магнитного действия либо невнимание к направлению скорости. Подставьте v = 0 или α = 0° в формулу: получится F = 0.

Ошибка: определять направление для отрицательного заряда так же, как для положительного. Правило левой руки непосредственно даёт направление для положительного заряда. Для отрицательного результата всегда нужно заменить на противоположный.

Ошибка: утверждать, что магнитная сила разгоняет частицу и увеличивает её кинетическую энергию. Такое заключение противоречит перпендикулярности силы и скорости. Проверьте работу: при угле 90° между ними работа равна нулю, поэтому меняется только направление движения.

Связь с другими темами

До изучения силы Лоренца нужны понятия электрического заряда, скорости и магнитной индукции. Также полезно уметь находить направление векторного произведения и различать параллельные и перпендикулярные векторы.

Тема связана с движением заряженных частиц в магнитном поле. На этом принципе основана работа масс-спектрометра: частицы с разными массами и зарядами движутся по траекториям разных радиусов.

Сила Лоренца понадобится при изучении электромагнитных явлений и ускорителей заряженных частиц. Она объясняет, как магнитное поле управляет траекторией пучка, не изменяя его кинетическую энергию.

Что запомнить

• Магнитная составляющая силы Лоренца действует на движущийся заряд.
• Модуль силы равен F = |q|vB sin α.
• Сила равна нулю, если заряд неподвижен или движется вдоль магнитного поля.
• Сила перпендикулярна скорости и магнитной индукции.
• Для отрицательного заряда направление силы противоположно направлению, определённому правилом левой руки для положительного.
• В однородном магнитном поле при движении перпендикулярно полю заряд движется по окружности.
• Магнитная составляющая силы Лоренца не изменяет модуль скорости и кинетическую энергию частицы.