§ 4. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу. Её модуль зависит от модуля заряда |q|, скорости v, магнитной индукции B и угла между скоростью и полем. Эта сила нужна, чтобы описывать отклонение электронов, ионов и других заряженных частиц в магнитном поле.

Заряд частицы — физическая величина, характеризующая её электрические свойства. Знак заряда определяет направление силы: для положительного и отрицательного зарядов она направлена противоположно при одинаковой скорости и поле. В формуле модуля используют |q|, потому что модуль силы не может быть отрицательным.

Скорость заряженной частицы — вектор, поэтому учитываются не только её величина, но и направление. Для магнитной силы важна скорость частицы относительно магнитного поля, точнее её составляющая, перпендикулярная вектору B. Это позволяет понять, почему движение вдоль поля не вызывает отклонения.

Правило левой руки помогает определить направление силы для положительно заряженной частицы: линии магнитной индукции должны входить в ладонь, четыре пальца направлены по скорости положительного заряда, а отогнутый большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда направление меняют на противоположное. Правило нужно применять после того, как установлены направления v и B.

Как это устроено

Магнитное поле действует силой на движущийся заряд, потому что действие поля связано с направленным движением электрического заряда. У неподвижной частицы скорость равна нулю, поэтому магнитная составляющая силы отсутствует. Электрическое поле при этом может действовать на неподвижный заряд, но это уже другая составляющая силы Лоренца.

Модуль силы задаётся формулой F = |q|vB sin α, где α — угол между скоростью и магнитной индукцией. Вектор скорости можно разложить на параллельную и перпендикулярную составляющие, а магнитное поле отклоняет только вторую. Поэтому в формуле появляется v sin α: чем больше поперечная составляющая, тем сильнее воздействие поля.

Направление силы перпендикулярно одновременно скорости частицы и магнитной индукции. Поэтому сила не разгоняет частицу вдоль её движения и не направлена вдоль линий поля. Для положительного заряда направление находят правилом левой руки, а для отрицательного учитывают смену направления из-за противоположного знака заряда.

Если частица движется вдоль магнитного поля, α = 0° или 180°, поэтому sin α = 0 и сила равна нулю. При движении поперёк поля α = 90°, sin α = 1, а сила достигает максимума Fmax = |q|vB. При промежуточном угле действует только часть максимальной силы, соответствующая поперечной составляющей скорости.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна мгновенной скорости, поэтому её работа равна нулю: она не передаёт частице энергию. В однородном поле при поперечном движении сила становится центростремительной и постоянно поворачивает вектор скорости. Модуль скорости сохраняется, а частица движется по окружности; если есть составляющая вдоль поля, траектория превращается в винтовую линию.

Сила Лоренца при разных направлениях скорости

Таблица показывает, как угол между скоростью и полем влияет на магнитную силу. Сначала определите направление скорости относительно B, затем найдите α и подставьте его в формулу F = |q|vB sin α. Последний столбец помогает связать численное значение силы с формой траектории.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Заряд q движется со скоростью v перпендикулярно однородному магнитному полю индукции B. Требуется найти модуль силы Лоренца. Направление силы в этой задаче определять не нужно.

1. Угол между скоростью и магнитной индукцией равен α = 90°.
2. Используем формулу F = |q|vB sin α.
3. Так как sin 90° = 1, получаем F = |q|vB.

Ответ: модуль силы Лоренца равен F = |q|vB. Знак заряда в этот результат не входит, поскольку он влияет только на направление силы.

Задача 2

Условие. Положительная частица движется в магнитном поле под углом α к линиям магнитной индукции. Известны q, v, B и α. Нужно определить направление силы и вычислить её модуль.

1. Для положительного заряда располагаем левую руку так, чтобы линии B входили в ладонь, а четыре пальца были направлены по скорости частицы.
2. Отогнутый большой палец показывает направление силы Лоренца; оно перпендикулярно и v, и B.
3. Для численного значения используем F = |q|vB sin α. Так как заряд положительный, |q| = q.

Ответ: сила направлена по большому пальцу левой руки, а её модуль равен F = qvB sin α. Если угол дан не в градусах, перед вычислением проверьте режим калькулятора.

Задача 3

Условие. Отрицательно заряженная частица с массой m и модулем заряда |q| влетает перпендикулярно в однородное поле B со скоростью v. Требуется найти радиус траектории и направление её искривления.

1. При α = 90° сила Лоренца имеет максимальный модуль F = |q|vB.
2. Она играет роль центростремительной силы, поэтому |q|vB = mv²/r.
3. После сокращения на v получаем r = mv/(|q|B). Направление сначала определяем правилом левой руки для положительного заряда, затем меняем на противоположное, потому что частица отрицательная.

Ответ: радиус окружности равен r = mv/(|q|B). Частица искривляется в сторону, противоположную той, которая получилась бы для положительного заряда при тех же v и B.

Типичные ошибки

Подстановка заряда q без модуля при вычислении модуля силы даёт отрицательный результат, что физически невозможно. Так происходит из-за смешения двух вопросов: знак нужен для направления, а модуль — для численного значения. Проверка проста: в ответе на величину силы должно стоять |q|.

Иногда считают, что сила максимальна при движении вдоль поля, потому что частица как будто «следует» за линиями индукции. Но при α = 0° синус равен нулю, поэтому сила отсутствует. Максимум проверяется условием α = 90° и формулой Fmax = |q|vB.

Для отрицательного заряда направление нередко определяют так же, как для положительного. Причина ошибки — применение правила левой руки без учёта знака заряда. Сначала найдите направление для положительного заряда, затем разверните результат на 180°.

Неверно утверждать, что магнитная сила изменяет модуль скорости частицы. Она перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает и кинетическую энергию не изменяет. Если в решении меняется v только из-за действия идеального магнитного поля, проверьте рассуждение.

Связь с другими темами

До изучения силы Лоренца нужно уметь работать с векторами скорости, заряда и магнитной индукции. Также требуется правило левой руки, связывающее взаимное расположение этих направлений. Без векторного представления трудно правильно определить угол и направление силы.

Траектория заряженной частицы зависит от того, есть ли у скорости составляющая вдоль поля. При поперечном движении возникает окружность, а при одновременном движении вдоль поля — винтовая линия. Эти случаи объясняют движение частиц в однородном магнитном поле.

Сила Лоренца помогает понять действие магнитного поля на проводник с током, поскольку ток можно представить как направленное движение множества зарядов. На этом же принципе основана работа масс-спектрометра. В нём по искривлению траектории разделяют частицы с разными отношениями массы к заряду.

Что запомнить

• Магнитная сила Лоренца действует только на движущийся заряд.
• Модуль силы равен F = |q|vB sin α.
• Сила перпендикулярна скорости частицы и магнитной индукции.
• При движении вдоль поля сила равна нулю, при движении поперёк поля она максимальна.
• Для отрицательного заряда направление силы противоположно направлению, найденному для положительного.
• Магнитная сила не совершает работы и не меняет модуль скорости частицы.