§ 3. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущийся электрический заряд. Её модуль зависит от величины заряда, скорости частицы, магнитной индукции и угла между скоростью и полем. Это понятие нужно, чтобы описывать движение отдельных заряженных частиц, а не только действие поля на проводник с током.

Модуль силы Лоренца задаётся формулой F = |q|vB sin α, где q — заряд, v — скорость, B — модуль магнитной индукции, α — угол между векторами скорости и магнитной индукции. Модуль заряда берут без знака, потому что знак влияет на направление силы, а не на её величину. Формула позволяет вычислить силу при любом взаимном направлении скорости и поля.

Правило левой руки — способ определить направление силы Лоренца для положительного заряда. Ладонь располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в неё, четыре пальца направляют по скорости положительного заряда, а отогнутый большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда результат нужно развернуть на противоположный, иначе направление окажется неверным.

Радиус траектории заряженной частицы в однородном магнитном поле — радиус окружности, по которой движется частица, если её скорость перпендикулярна магнитной индукции. Его находят по формуле R = mv/(|q|B). Эта величина помогает сравнивать траектории частиц с разными массами, зарядами и скоростями.

Как это устроено

Действие магнитного поля на ток можно объяснить действием поля на носители заряда внутри проводника. Каждый носитель движется и испытывает силу Лоренца, а сложение сил, действующих на множество зарядов, даёт силу Ампера, действующую на весь проводник. Поэтому сила Ампера и сила Лоренца описывают магнитное воздействие на разных уровнях: на ток в целом и на отдельный заряд.

В формуле F = |q|vB sin α множитель sin α выделяет ту часть движения, которая направлена поперёк поля. При движении вдоль линий поля α равен 0° или 180°, а синус равен нулю: магнитному полю нечего отклонять. При движении поперёк поля α = 90°, синус равен единице, и сила достигает значения |q|vB.

Направление силы связано сразу с направлением движения и направлением магнитного поля, поэтому его нельзя определить только по одному из этих векторов. Для положительного заряда применяют правило левой руки: поле входит в ладонь, пальцы направлены по скорости, большой палец указывает силу. У отрицательного заряда знак q меняет направление вектора силы на противоположное, хотя её модуль остаётся тем же.

Магнитная сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы. Работа силы равна нулю, потому что перемещение за малое время направлено по скорости, а сила направлена под прямым углом к нему. Значит, поле может поворачивать вектор скорости, но не увеличивает и не уменьшает его модуль; кинетическая энергия частицы сохраняется.

Когда скорость направлена перпендикулярно однородному полю, модуль силы остаётся постоянным, а её направление непрерывно меняется вместе с движением частицы. В каждый момент сила направлена к центру кривизны траектории и играет роль центростремительной силы. Поэтому скорость постоянна по модулю, но её направление поворачивается, и частица описывает окружность.

Сила Лоренца и движение заряда в магнитном поле

Сначала найдите угол α между скоростью и полем, затем выберите подходящий столбец и проверьте модуль силы. Если скорость направлена наклонно, её составляющая вдоль поля не создаёт магнитной силы, а поперечная составляющая вызывает вращение. Поэтому траектория в общем случае получается винтовой.

Разбор задач

Заряд q движется со скоростью v перпендикулярно однородному магнитному полю индукции B. Требуется найти модуль силы Лоренца. Числовых значений нет, поэтому ответ выразим через заданные величины. Угол между скоростью и полем равен 90°.

1. Запишем общую формулу: F = |q|vB sin α.
2. Подставим α = 90° и используем sin 90° = 1. Получим F = |q|vB.
3. Проверим смысл результата: при перпендикулярном движении сила максимальна для заданных q, v и B.

Ответ: F = |q|vB.

Положительный и отрицательный заряды движутся с одинаковыми скоростями в одном магнитном поле. Требуется сравнить направления сил. Их скорости и положения в поле одинаковы, поэтому сначала определим направление силы для положительного заряда. Модуль силы у зарядов одинаков, если одинаковы модули их зарядов.

1. Левой рукой расположим ладонь так, чтобы линии B входили в неё, а пальцы были направлены по скорости положительного заряда.
2. Большой палец покажет направление силы на положительный заряд. Для отрицательного заряда направление силы будет противоположным, так как знаки зарядов различаются.
3. Если модули зарядов равны, то силы равны по модулю и противоположны по направлению.

Ответ: силы направлены противоположно; модуль каждой определяется формулой F = |q|vB sin α.

Частица массой m и зарядом q влетает перпендикулярно в однородное поле B со скоростью v. Нужно найти радиус траектории и выяснить, от чего он зависит. Сила Лоренца направлена поперёк скорости, поэтому она меняет направление движения и обеспечивает центростремительное ускорение. Модуль силы в этой ситуации равен |q|vB.

1. Приравняем магнитную силу центростремительной: |q|vB = mv²/R.
2. Выразим радиус: R = mv²/(|q|vB) = mv/(|q|B). Один множитель v сокращается.
3. По формуле видно: при большей массе или скорости радиус увеличивается, а при большем модуле заряда или индукции уменьшается.

Ответ: R = mv/(|q|B).

Типичные ошибки

Используют F = |q|vB без множителя sin α. Так поступают, если запоминают только случай движения поперёк поля и забывают про остальные углы. Проверьте себя: при α = 0° формула должна дать нулевую силу, а без синуса этого не получится.

Для отрицательного заряда применяют правило левой руки, но не меняют направление результата. Ошибка возникает, когда правило запоминают без оговорки о знаке заряда. Сначала определите направление для положительного заряда, затем разверните его; сравнение с положительным зарядом при тех же v и B поможет проверить ответ.

Считают, что магнитная сила увеличивает или уменьшает модуль скорости частицы. Такое предположение путает изменение направления вектора скорости с изменением самой скорости по модулю. Проверьте себя: сила перпендикулярна скорости, поэтому её работа равна нулю и кинетическая энергия не меняется.

Полагают, что сила действует на неподвижный заряд или на заряд, движущийся вдоль поля. Причина ошибки — не учтены скорость и угол в формуле F = |q|vB sin α. Подставьте v = 0 для неподвижного заряда или sin α = 0 для движения вдоль поля: в обоих случаях сила равна нулю.

Связь с другими темами

Для изучения силы Лоренца нужны понятия магнитной индукции, вектора скорости и силы Ампера. Индукция описывает магнитное поле, скорость задаёт направление движения заряда, а сила Ампера помогает увидеть связь между действием поля на отдельные заряды и на ток. Эти знания позволяют перейти от описания поля к расчёту движения частиц.

Сила Лоренца объясняет, почему заряженные частицы отклоняются в магнитном поле. На этом основано разделение частиц по отношению массы к заряду в масс-спектрометре и удержание частиц на круговых траекториях в циклотроне. В обоих приборах важны радиус траектории и зависимость движения от заряда, массы, скорости и магнитной индукции.

Что запомнить

• Магнитная сила Лоренца действует на движущийся заряд.
• Модуль силы равен F = |q|vB sin α.
• При движении вдоль магнитного поля сила Лоренца равна нулю.
• Направление силы для отрицательного заряда противоположно направлению для положительного.
• Магнитная сила Лоренца перпендикулярна скорости и не совершает работы.
• При движении перпендикулярно однородному полю частица движется по окружности радиуса R = mv/(|q|B).