§ 55. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле. Её модуль для магнитного поля вычисляют по формуле F = |q|vB sin α, где q — заряд, v — скорость, B — магнитная индукция, α — угол между скоростью и полем. Формула нужна, чтобы находить величину воздействия поля в любой ситуации.

Магнитная составляющая силы Лоренца — часть силы Лоренца, обусловленная магнитным полем. Она всегда перпендикулярна скорости частицы и вектору магнитной индукции. Именно эта составляющая искривляет траекторию заряда, не разгоняя его по направлению движения.

Правило левой руки позволяет определить направление силы Лоренца. Левую руку располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре пальца показывали направление движения положительного заряда; отставленный большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда направление противоположно.

Циклотронная частота — частота обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле: f = |q|B/(2πm). Здесь m — масса частицы. Она показывает, сколько оборотов частица совершает за секунду, если её скорость перпендикулярна полю.

Как это устроено

Магнитное поле действует на заряд только при его движении, потому что магнитная сила связана с направленным перемещением заряда. В формуле есть множитель v, поэтому при неподвижной частице v = 0 и F = 0. Само наличие электрического заряда ещё не создаёт магнитного воздействия на покоящийся заряд.

Величина силы зависит от угла α между скоростью и магнитной индукцией через sin α. При α = 0° или 180° скорость направлена вдоль поля, sin α = 0, и сила отсутствует; при α = 90° она максимальна и равна |q|vB. При промежуточном угле действует только перпендикулярная полю часть скорости.

Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости, поэтому скалярное произведение F · v равно нулю. Работа силы за любое малое перемещение также равна нулю, а кинетическая энергия и модуль скорости не меняются. Изменяется только направление вектора скорости, подобно движению тела по окружности под действием центростремительной силы.

Направление силы находят правилом левой руки для положительного заряда. У отрицательного заряда движение эквивалентно действию силы в обратную сторону, поэтому результат для электрона нужно поменять на противоположный. Изменение знака заряда меняет сторону искривления траектории, но не модуль силы.

Если скорость полностью перпендикулярна полю, сила всё время играет роль центростремительной и частица движется по окружности. При наклонном влёте скорость раскладывается на v⊥ и v∥: первая часть создаёт круговое движение, а вторая сохраняет равномерное перемещение вдоль поля. Сложение этих движений даёт винтовую линию; её шаг определяется продольной скоростью.

Сила Лоренца при разных условиях движения заряда

Сначала определите угол между скоростью и магнитным полем, а затем выберите соответствующую строку. Для направления учитывайте знак заряда: таблица даёт противоположные стороны искривления для положительного и отрицательного зарядов.

Разбор задач

Электрон влетает перпендикулярно полю

Электрон движется со скоростью 2·10⁶ м/с в поле B = 0,3 Тл. Нужно найти модуль силы, поэтому знак заряда не важен: используем |q_e| = 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

1. Угол α = 90°, значит sin α = 1.
2. Подставляем данные: F = |q|vB = 1,6·10⁻¹⁹ · 2·10⁶ · 0,3.
3. Получаем F = 9,6·10⁻¹⁴ Н.

Ответ: модуль силы Лоренца равен 9,6·10⁻¹⁴ Н.

Ион влетает под углом 30°

Положительный ион движется под углом α = 30° к линиям магнитной индукции. Магнитная сила определяется только перпендикулярной составляющей скорости, поэтому v⊥ = v sin 30° = v/2, а v∥ = v cos 30° = √3v/2.

1. Записываем формулу: F = |q|vB sin 30°.
2. Так как sin 30° = ½, получаем F = |q|vB/2.
3. Составляющая v⊥ создаёт движение по окружности, а v∥ — перенос вдоль поля.

Ответ: магнитная составляющая силы равна |q|vB/2, траектория иона — винтовая линия.

Частица движется по окружности

Радиус окружности r = 4 см = 0,04 м, магнитная индукция B = 0,2 Тл. Численных значений скорости, массы и заряда по условию нет, поэтому можно получить только общие связи между величинами.

1. При перпендикулярном движении сила Лоренца равна |q|vB и является центростремительной: |q|vB = mv²/r.
2. После сокращения на v получаем |q|/m = v/(Br).
3. Период T = 2πr/v. Подставляя связь, получаем T = 2πm/(|q|B), а частота f = |q|B/(2πm).

Ответ: |q|/m = v/(0,2 · 0,04) = 125v Кл/кг, T = 2πm/(|q|B) = 2πr/v. Для численного ответа нужны скорость или отношение |q|/m.

Типичные ошибки

1. Забывают множитель sin α. Формула F = |q|vB верна только при перпендикулярном движении. Ошибка появляется, когда частный случай принимают за общий; проверьте угол и используйте F = |q|vB sin α.

2. Направляют силу вдоль скорости или поля. Так делают, смешивая направление действия силы с направлением движения. Проверьте себя: магнитная сила должна быть перпендикулярна и скорости, и вектору магнитной индукции.

3. Не меняют направление для отрицательного заряда. Правило левой руки непосредственно задаёт направление для положительного заряда. Для электрона результат нужно развернуть на 180°, после чего проверить сторону искривления.

4. Считают, что сила изменяет модуль скорости и совершает работу. Причина ошибки — привычка связывать любую силу с разгоном тела. Поскольку сила перпендикулярна скорости, она меняет только направление движения, а кинетическая энергия остаётся постоянной.

Связь с другими темами

• Для решения задач нужны понятия силы как причины изменения движения, векторного сложения, движения по окружности и правило левой руки.
• Тема опирается на магнитную индукцию, электрический заряд и скорость частицы. Эти величины входят непосредственно в формулу силы Лоренца.
• Сила Лоренца объясняет работу масс-спектрографа и циклотрона, движение частиц в магнитных полях и отклонение электронов в электронно-лучевых приборах.

Что запомнить

• Сила Лоренца действует на движущийся электрический заряд в магнитном поле.
• Модуль магнитной силы равен F = |q|vB sin α.
• При движении вдоль линий магнитной индукции сила Лоренца равна нулю.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитной индукции.
• Магнитное поле не изменяет кинетическую энергию заряженной частицы.
• При перпендикулярном влёте в однородное поле частица движется по окружности.
• Знак заряда определяет направление силы и сторону искривления траектории.