§ 3. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся электрический заряд в магнитном поле. Её векторная формула: F = q(v × B), где F — сила, q — заряд частицы, v — её скорость, B — магнитная индукция, а знак × обозначает векторное произведение. Формула задаёт и величину силы, и её направление.

Модуль силы Лоренца равен F = |q|vB sin α, где |q| — модуль заряда, v — скорость, B — модуль магнитной индукции, а α — угол между векторами v и B. Модуль не может быть отрицательным, поэтому в формуле используют абсолютную величину заряда. По ней удобно находить силу, когда известны числовые значения параметров.

Правило левой руки помогает определить направление силы для положительного заряда: ладонь располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в неё, четыре пальца направляют по движению заряда, а отогнутый большой палец укажет силу. Это правило связывает три направления — поля, движения и силы. Для отрицательного заряда результат нужно развернуть на 180°.

Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна и скорости заряда, и магнитной индукции. Поэтому она меняет направление вектора скорости, а не его модуль. Это различие позволяет объяснить искривление траектории без изменения кинетической энергии частицы.

Как это устроено

Неподвижный заряд не испытывает магнитного действия: сила связана с движением заряда относительно поля. Чем больше заряд и скорость, тем сильнее взаимодействие, поэтому модуль силы пропорционален |q| и v. Усиление магнитного поля также увеличивает силу, что отражено множителем B. Знак заряда влияет не на модуль, а на направление силы.

Множитель sin α показывает, какая часть движения направлена поперёк магнитного поля. При α = 90° синус равен единице, поэтому сила максимальна: F = |q|vB. Если частица движется вдоль линий поля, α равен 0° или 180°, а синус равен нулю. Продольная скорость не создаёт магнитного воздействия, потому что поле не отклоняет заряд вдоль самого себя.

Векторное произведение в формуле означает, что сила направлена перпендикулярно обоим векторам — скорости и магнитной индукции. Для положительного заряда направление можно найти правилом левой руки: поле входит в ладонь, пальцы показывают скорость, большой палец — силу. Отрицательный заряд движется в том же поле, но сила направлена противоположно результату для положительного. Поэтому знак заряда нужно учитывать отдельно от геометрии задачи.

Работа силы равна произведению силы на перемещение и косинус угла между ними. За малое время перемещение направлено вдоль скорости, а сила Лоренца перпендикулярна скорости; угол между ними равен 90°, и cos 90° = 0. Значит, магнитная сила не передаёт частице энергию и не меняет её кинетическую энергию. Она может менять направление движения, сохраняя модуль скорости.

Если скорость направлена поперёк однородного магнитного поля, сила всё время перпендикулярна скорости и поворачивается вместе с ней. Она играет роль центростремительной силы, поэтому траектория представляет собой окружность: |q|vB = mv²/r, откуда r = mv/(|q|B), где m — масса частицы. Если у скорости есть составляющая вдоль поля, она сохраняется, а поперечная составляющая создаёт круговое движение. Сложение этих движений образует винтовую линию.

Действие силы Лоренца в зависимости от движения заряда

Сначала сравните направление скорости с магнитным полем и выберите подходящую строку. Затем проверьте, нужен ли полный модуль скорости или только её поперечная составляющая. Для отрицательного заряда отдельно измените направление силы, не меняя её модуль.

Разбор задач

1. Модуль силы при перпендикулярном движении

Заряд 2 мкКл движется со скоростью 3·10⁶ м/с перпендикулярно магнитному полю с индукцией 0,4 Тл. Найдём модуль силы Лоренца. Поскольку скорость перпендикулярна полю, угол равен 90° и sin α = 1.

1. Запишем данные: q = 2 мкКл, v = 3·10⁶ м/с, B = 0,4 Тл. Переведём заряд в кулоны: 1 мкКл = 10⁻⁶ Кл, значит q = 2·10⁻⁶ Кл. Перевод нужен, чтобы подстановка в формулу СИ дала силу в ньютонах.

2. Для перпендикулярного движения используем F = |q|vB. Подставим значения: F = 2·10⁻⁶ · 3·10⁶ · 0,4 Н. Степени десяти сокращаются, остаётся вычислить произведение чисел.

3. Получаем F = 2,4 Н. Проверка: при прямом угле сила должна быть максимальной для заданных заряда, скорости и поля. Ответ: модуль силы Лоренца равен 2,4 Н.

2. Направление силы

Положительный заряд движется вправо, а магнитное поле направлено вглубь страницы. Требуется найти направление силы, а затем рассмотреть отрицательный заряд. Здесь важны направления векторов, а не числовые значения.

1. Представим страницу как плоскость: вправо — горизонтальное направление, вглубь страницы — от наблюдателя. Для положительного заряда применяем правило левой руки. Ладонь должна быть обращена так, чтобы линии поля входили в неё, а пальцы были направлены вправо.

2. Большой палец при таком положении укажет вверх страницы. Значит, сила для положительного заряда направлена вверх. Это согласуется с тем, что направление силы перпендикулярно и скорости, и магнитному полю.

3. Для отрицательного заряда направление противоположно, потому что знак q в векторной формуле меняет направление силы. Ответ: для положительного заряда сила направлена вверх, для отрицательного — вниз.

3. Радиус и период движения протона

Протон влетает перпендикулярно в поле с индукцией 0,2 Тл со скоростью 4·10⁶ м/с. Нужно найти радиус окружности и период обращения. Используем заряд протона q = 1,6·10⁻¹⁹ Кл и его массу m = 1,67·10⁻²⁷ кг.

1. При перпендикулярном входе сила Лоренца служит центростремительной силой. Запишем |q|vB = mv²/r и выразим радиус: r = mv/(|q|B). Подстановка даёт r = (1,67·10⁻²⁷ · 4·10⁶)/(1,6·10⁻¹⁹ · 0,2) м.

2. Вычисляем: числитель равен 6,68·10⁻²¹, знаменатель — 3,2·10⁻²⁰. Поэтому r ≈ 0,209 м, или примерно 0,21 м. Радиус пропорционален массе и скорости, но обратно пропорционален заряду и индукции.

3. Период — время одного полного оборота; из длины окружности и скорости T = 2πr/v. Подставим значения: T ≈ 2π · 0,209/(4·10⁶) с ≈ 3,3·10⁻⁷ с. Ответ: радиус около 0,21 м, период около 3,3·10⁻⁷ с.

Типичные ошибки

Использовать F = |q|vB при любом угле — значит забыть множитель sin α. Эту ошибку допускают, запоминая формулу для частного случая перпендикулярного движения. Проверьте угол: если скорость не перпендикулярна полю, подставляйте F = |q|vB sin α.

Направлять силу вдоль поля или скорости нельзя: векторное произведение задаёт направление, перпендикулярное обоим векторам. Ошибка возникает, когда правило левой руки применяют без проверки положения ладони и пальцев. Самопроверка проста: итоговый вектор силы должен образовывать прямой угол и с v, и с B.

Для отрицательного заряда нельзя оставлять направление, найденное для положительного. Правило левой руки обычно сначала применяют к положительному заряду, а знак заряда забывают учесть отдельно. Проверьте запись F = q(v × B): отрицательное q разворачивает вектор силы.

Магнитное поле не разгоняет и не тормозит частицу, хотя может заметно искривить её путь. Такое заблуждение возникает из-за смешения изменения скорости-вектора с изменением её модуля. Проверка: сила перпендикулярна перемещению, её работа равна нулю, поэтому кинетическая энергия и модуль скорости сохраняются.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать силу Лоренца, нужны знания о векторе магнитной индукции и направлении поля, а также о силе Ампера. Пригодятся правила определения направлений векторов и представление о движении по окружности. Эти знания позволяют связать магнитное поле, силу и траекторию частицы.

Сила Лоренца объясняет разделение зарядов в магнитном поле и помогает понять работу масс-спектрометра, который различает частицы по их движению. На этом же принципе основано действие циклотрона — ускорителя заряженных частиц. В обоих случаях магнитное поле управляет траекторией, а не увеличивает скорость непосредственно.

Эта тема понадобится при изучении электромагнитной индукции, поведения плазмы и движения зарядов в ускорителях. Понимание силы на отдельную частицу помогает объяснять коллективное поведение заряженных частиц. Формулы радиуса и периода особенно полезны при анализе движения в магнитном поле.

Что запомнить

• Сила Лоренца действует на движущийся заряд в магнитном поле.
• Модуль силы равен F = |q|vB sin α.
• При движении вдоль магнитного поля сила Лоренца равна нулю.
• При перпендикулярном движении сила максимальна и равна |q|vB.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и магнитной индукции.
• Магнитная сила не изменяет модуль скорости заряда.
• Знак заряда определяет сторону искривления траектории.