§ 29. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу. Её направление перпендикулярно скорости частицы и магнитной индукции. Это понятие позволяет описывать, как поле отклоняет заряды.

Векторная формула силы Лоренца: F = q(v × B), а её модуль равен F = |q|vB sin α. Здесь q — заряд частицы, v — её скорость, B — магнитная индукция, а × означает векторное произведение. Формула модуля нужна для вычисления величины силы, а векторная формула учитывает также направление.

Угол α — угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции. При изменении угла меняется множитель sin α, а значит, и модуль силы. Это помогает сразу определить, будет ли поле отклонять частицу.

Правило левой руки помогает определить направление силы для положительного заряда: линии магнитной индукции должны входить в ладонь, четыре пальца направлены по скорости, отогнутый большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда ответ направлен противоположно. Правило нужно, чтобы учитывать направление, которое одна только формула модуля не показывает.

Как это устроено

Магнитное поле взаимодействует не с зарядом самим по себе, а с его движением: в формуле силы есть скорость v. Поэтому неподвижный заряд не отклоняется магнитным полем. Чем больше заряд и скорость, тем сильнее действие поля при прочих равных условиях.

Модуль силы зависит также от магнитной индукции B и угла α между скоростью и полем. Если скорость параллельна или направлена противоположно магнитной индукции, sin α = 0 и сила равна нулю: поперечного движения, которое поле могло бы отклонить, нет. При перпендикулярных векторах sin α = 1, поэтому сила достигает максимума F = |q|vB.

Направление силы для положительного заряда находят правилом левой руки, а для отрицательного заряда меняют на противоположное. Это связано со знаком q в векторной формуле: при изменении знака заряда вектор силы разворачивается. Модуль при этом рассчитывают с |q|, так что он остаётся положительным.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости. Работа силы равна нулю, поскольку перемещение частицы направлено вдоль скорости, а сила — поперёк неё. Поэтому кинетическая энергия и модуль скорости не меняются, но направление движения может изменяться.

Если частица движется поперёк линий магнитной индукции в однородном поле, сила всё время перпендикулярна скорости и играет роль центростремительной силы. В результате частица движется по окружности. Если у скорости есть составляющая вдоль поля, она не испытывает действия магнитной силы и переносит частицу вдоль поля, тогда как поперечная составляющая создаёт вращение; вместе получается винтовая линия.

Сила Лоренца и характер движения заряженной частицы

Сначала найдите в таблице условие, которое подходит к направлению скорости, затем прочитайте значение силы и характер движения. При угле α, отличном от 0° и 90°, учитывайте множитель sin α. Направление силы для отрицательного заряда будет обратным указанному для положительного.

Разбор задач

1. Модуль силы при перпендикулярном движении

Заряд 2·10⁻⁶ Кл движется со скоростью 3·10⁴ м/с перпендикулярно однородному полю с индукцией 0,5 Тл. Нужно найти модуль силы. Поскольку движение перпендикулярно полю, угол α равен 90°.

1. Запишем формулу модуля: F = |q|vB sin α.
2. Подставим данные и учтём, что sin 90° = 1: F = 2·10⁻⁶ · 3·10⁴ · 0,5.
3. Вычислим произведение: F = 0,03 Н.

Ответ: 0,03 Н. Перпендикулярность скорости и поля означает, что сила при заданных q, v и B максимальна.

2. Направление силы

Положительный заряд движется вправо, а магнитное поле направлено за плоскость рисунка, то есть от наблюдателя. Требуется определить направление силы и сравнить его со случаем отрицательного заряда. Здесь важны направления скорости и поля, а не числовое значение заряда.

1. Представим левую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь.
2. Направим четыре пальца вправо, по скорости положительного заряда; большой палец покажет силу.
3. Он направлен вверх. Для отрицательного заряда направление будет противоположным — вниз.

Ответ: на положительный заряд сила действует вверх, на отрицательный — вниз.

3. Радиус траектории протона

Протон движется перпендикулярно однородному полю со скоростью 2·10⁶ м/с; B = 0,2 Тл. Масса протона равна 1,67·10⁻²⁷ кг, заряд — 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Требуется найти радиус окружности.

1. При движении по окружности сила Лоренца обеспечивает центростремительную силу: |q|vB = mv²/r.
2. Выразим радиус: r = mv/(|q|B). Такое преобразование позволяет найти геометрию траектории через известные параметры частицы и поля.
3. Подставим числа: r = (1,67·10⁻²⁷ · 2·10⁶)/(1,6·10⁻¹⁹ · 0,2) ≈ 0,104 м.

Ответ: радиус траектории примерно 0,10 м, или 10 см.

Типичные ошибки

При вычислении модуля иногда подставляют заряд со знаком и получают отрицательную силу. Модуль не может быть отрицательным, поэтому в формуле используют |q|, а знак заряда оставляют для определения направления. Проверьте себя: результат вычисления модуля должен быть неотрицательным.

Можно ошибочно считать, что магнитная сила действует на неподвижный заряд или на частицу, движущуюся вдоль поля. В этих случаях подстановка даёт соответственно v = 0 или sin α = 0, значит, сила равна нулю. Проверяйте скорость и угол до вычислений.

Если забыть множитель sin α, получится, будто сила всегда равна |q|vB. Такая формула верна лишь при перпендикулярных скорости и полю, когда sin α = 1. Чтобы проверить себя, сначала установите угол и только потом выбирайте значение синуса.

Ещё одна ошибка — считать, что сила Лоренца изменяет скорость по величине. Она перпендикулярна скорости и меняет её направление, не совершая работы. Проверьте направление силы: если оно не перпендикулярно скорости, значит, направление определено неверно.

Связь с другими темами

Для работы с силой Лоренца нужны понятия магнитной индукции, электрического заряда, скорости и силы. Также важно уметь задавать направления векторов и применять правило левой руки. Эти знания помогают не смешивать вычисление модуля силы с определением её направления.

Рассмотрение траектории заряженной частицы в магнитном поле опирается на законы движения и понятие центростремительной силы. Эти идеи применяются при изучении масс-спектрометров и ускорителей частиц. В таких устройствах магнитное поле изменяет траекторию частиц, что позволяет управлять их движением или исследовать их свойства.

Что запомнить

• Магнитная сила Лоренца действует на движущийся заряд.
• Модуль силы равен F = |q|vB sin α.
• При движении вдоль поля или в покое сила Лоренца равна нулю.
• Направление силы для отрицательного заряда противоположно направлению для положительного.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и не совершает работы.
• При движении поперёк однородного поля заряженная частица движется по окружности.