1. Модуль силы Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на заряженную частицу, которая движется в магнитном поле. Её обозначают F; направление силы перпендикулярно скорости и магнитной индукции, а для отрицательного заряда противоположно направлению, которое получилось бы для положительного. Направление нужно знать, когда рассматривают траекторию частицы.

Модуль силы Лоренца — численное значение силы без указания её направления. Он определяется формулой F = |q|vB sin α, где q — заряд, v — скорость, B — модуль магнитной индукции. По этой формуле можно найти, насколько сильно поле воздействует на частицу.

Магнитная индукция — векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле; её обозначают B. В формулу входит модуль этой величины, измеряемый в теслах (Тл). Векторное направление B необходимо, чтобы определить угол с движением частицы и направление силы.

Угол между скоростью и магнитной индукцией — угол α между векторами v и B. Он показывает, насколько движение частицы направлено поперёк поля. Его значение определяет, какая часть скорости создаёт магнитное действие.

Как это устроено

Модуль силы пропорционален |q|: при одинаковых скорости, поле и угле частица с зарядом вдвое большего модуля испытывает вдвое большую силу. Чем больше заряд, тем сильнее его взаимодействие с магнитным полем. Скорость тоже входит в формулу прямо пропорционально: при её увеличении в несколько раз сила возрастает во столько же раз, если остальные величины неизменны. Пропорциональность B означает, что более сильное магнитное поле оказывает большее воздействие на движущийся заряд.

Множитель sin α появляется потому, что магнитное поле действует не на всю скорость одинаково. Скорость можно представить как сумму составляющих: одна направлена вдоль поля, другая — перпендикулярно ему. Вдоль поля частица не отклоняется, а поперечная составляющая равна v sin α и определяет модуль силы. Поэтому формулу можно понимать как F = |q|(v sin α)B.

Синус угла достигает наибольшего значения, равного единице, при α = 90°. Тогда вся скорость перпендикулярна полю и сила максимальна: F = |q|vB. При α = 0° или 180° синус равен нулю, так как скорость направлена вдоль поля или против него. Следовательно, поперечной составляющей скорости нет и магнитная сила не отклоняет частицу.

В формуле для модуля заряда используют абсолютное значение |q|, поскольку модуль силы не может быть отрицательным. Положительный и отрицательный заряды при одинаковых условиях испытывают силы одинаковой величины, но противоположных направлений. Поэтому знак заряда важен для направления вектора силы, а при вычислении её численного значения его убирают.

Сила Лоренца измеряется в ньютонах (Н), как и любая другая сила. Проверка размерности подтверждает формулу: тесла можно выразить как Н/(А·м), а кулон — как А·с. Тогда Кл·(м/с)·Тл = (А·с)·(м/с)·Н/(А·м) = Н; синус угла безразмерен. Значит, правая часть формулы действительно имеет единицу силы.

Зависимость модуля силы Лоренца от заряда, скорости и угла

Сначала определите угол между направлением скорости и вектором магнитной индукции, затем выберите подходящую строку таблицы. Для произвольного угла используйте общую формулу, а для перпендикулярного движения — её частный случай. Если частица покоится или поле отсутствует, сила сразу равна нулю.

Разбор задач

Задача 1. Заряженная частица с зарядом по модулю 2·10⁻⁶ Кл движется со скоростью 3·10⁵ м/с перпендикулярно магнитному полю с индукцией 0,4 Тл. Найти модуль силы Лоренца. Перпендикулярность означает α = 90°, поэтому синус равен единице. Здесь можно воспользоваться частной формой формулы.

1. Записываем данные: |q| = 2·10⁻⁶ Кл, v = 3·10⁵ м/с, B = 0,4 Тл.
2. Используем F = |q|vB, так как sin 90° = 1.
3. Подставляем числа: F = 2·10⁻⁶ · 3·10⁵ · 0,4 = 0,24 Н.

Ответ: модуль силы равен 0,24 Н. При вычислении степени десяти перемножаем 2·3·0,4 = 2,4 и 10⁻⁶·10⁵ = 10⁻¹. Такое предварительное упрощение помогает не потерять порядок величины.

Задача 2. Частица движется со скоростью 2·10⁶ м/с под углом 30° к магнитной индукции. Нужно определить модуль силы, если известны заряд и индукция. Обозначим модуль заряда через |q|, а индукцию — через B: численные значения в условии этой задачи не заданы. Поэтому ответ выразим через эти величины, не подменяя их придуманными числами.

1. Выбираем формулу для произвольного угла: F = |q|vB sin α.
2. Подставляем скорость и угол: F = |q| · 2·10⁶ · B · sin 30°.
3. Так как sin 30° = 0,5, получаем F = |q|B · 10⁶ Н, если |q| и B подставлены в единицах СИ.

Ответ: F = |q|B · 10⁶ Н. В отличие от движения поперёк поля, здесь действует только половина скорости: v sin 30° = 10⁶ м/с. Если в условии известны конкретные |q| и B, их остаётся подставить в полученное выражение.

Задача 3. Для двух частиц сравнивают силы при разных зарядах, скоростях, индукциях и углах. Чтобы найти неизвестную величину, важно сначала записать выражение для каждой силы, а не сравнивать только заряды или скорости. Пусть данные двух частиц отмечены индексами 1 и 2.

1. Записываем F₁ = |q₁|v₁B₁ sin α₁ и F₂ = |q₂|v₂B₂ sin α₂.
2. Составляем отношение F₁/F₂ = (|q₁|v₁B₁ sin α₁)/(|q₂|v₂B₂ sin α₂).
3. Подставляем известные величины и выражаем неизвестную. Если требуется сравнить силы, вычисляем отношение: значение больше единицы означает, что F₁ больше F₂.

Ответ: искомое отношение определяется отношением произведений |q|vB sin α. Общие множители можно сократить, только если соответствующие величины у частиц действительно одинаковы. Синусы углов нельзя пропускать: одинаковые заряды и скорости ещё не означают одинаковых сил.

Типичные ошибки

Первая ошибка — использовать F = |q|vB при любом угле. Это выражение верно только для движения перпендикулярно полю, когда sin α = 1; его запоминают как частный случай и забывают общий множитель. Проверьте, задан ли угол: если он не равен 90°, подставьте синус в общую формулу.

Вторая ошибка — подставлять отрицательный заряд и считать, что модуль силы тоже получился отрицательным. Знак q влияет на направление вектора силы, а не на её величину, поэтому в расчёте модуля используют |q|. Самопроверка проста: ответ для модуля должен быть неотрицательным.

Третья ошибка — перепутать угол между v и B с углом между скоростью и перпендикуляром к полю и заменить sin α на cos α. Это происходит, когда угол считывают с неверного направления на схеме или в условии. Перед вычислением обозначьте именно векторы v и B; только после этого выбирайте синус угла между ними.

Четвёртая ошибка — считать, что поле действует магнитной силой на любой заряд, даже неподвижный. В формуле есть скорость, поэтому при v = 0 произведение равно нулю. Подставьте скорость в выражение: если она нулевая, модуль магнитной силы также равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны знания о векторных величинах, углах между векторами, синусе и единице силы — ньютоне. Также важно уметь характеризовать магнитное поле вектором магнитной индукции и определять взаимное направление векторов. Позже эта формула поможет разбирать движение заряженных частиц в магнитном поле, а также работу масс-спектрографа и циклотрона. В этих устройствах магнитное поле изменяет траектории частиц, а сила Лоренца позволяет объяснить, почему это происходит.

Что запомнить

• Модуль силы Лоренца определяется формулой F = |q|vB sin α.
• Сила зависит от модуля заряда, скорости частицы и магнитной индукции.
• В формулу входит синус угла между скоростью и магнитной индукцией.
• При перпендикулярном движении F = |q|vB — сила максимальна.
• При движении вдоль магнитного поля или покое частицы сила равна нулю.
• Знак заряда влияет на направление силы, но не на её модуль.
• Единица измерения силы Лоренца — ньютон.