1. Модуль силы Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся заряженный объект в магнитном поле. Она зависит от заряда q, скорости v и магнитной индукции B, а также от направления движения относительно поля. Это понятие нужно, чтобы объяснять отклонение электронов и других заряженных частиц в магнитных полях.

Модуль силы Лоренца — её числовое значение без указания направления. Он вычисляется по формуле F = |q|vB sin α, где |q| — модуль заряда. Такая запись позволяет найти именно величину силы и не учитывать знак заряда.

Угол α — угол между вектором скорости заряженного объекта и вектором магнитной индукции. Он может изменяться от 0° до 180°. Знание этого угла показывает, какая часть движения направлена поперёк магнитного поля.

Магнитная индукция — векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле. Её модуль B показывает, насколько сильным является поле в данной точке и входит в формулу силы Лоренца. Единица магнитной индукции в СИ — тесла, Тл.

Как это устроено

Магнитное поле действует не на всякое движение одинаково, а только на ту его часть, которая направлена поперёк поля. Если скорость образует с магнитной индукцией угол α, перпендикулярная составляющая равна v_⊥ = v sin α. Именно поэтому в формуле используется не вся скорость отдельно, а множитель v sin α.

Эксперимент показывает: при увеличении модуля заряда сила возрастает пропорционально |q|, при увеличении скорости — пропорционально v, а при усилении поля — пропорционально B. Кроме того, сила пропорциональна поперечной составляющей скорости. Объединив эти зависимости, получают F = |q|v_⊥B = |q|vB sin α.

При движении перпендикулярно линиям магнитной индукции α = 90°, а sin 90° = 1. В этом случае вся скорость является поперечной, поэтому сила достигает максимума: F_max = |q|vB. При движении вдоль поля α = 0° или 180°, поперечная составляющая отсутствует и сила равна нулю.

Единицу силы можно проверить по размерностям. Так как 1 Тл = 1 Н/(А·м), а 1 Кл = 1 А·с, произведение Кл·м/с·Тл превращается в (А·с)·м/с·Н/(А·м) = Н. Значит, формула согласуется с единицей силы в СИ — ньютоном.

Магнитная сила направлена перпендикулярно скорости частицы. Поэтому при малом перемещении сила не имеет составляющей вдоль движения и не совершает работы. Скорость по модулю и кинетическая энергия не изменяются, но направление скорости может постоянно меняться, например при движении по окружности.

Зависимость модуля силы Лоренца от угла между скоростью и магнитным полем

Сначала определите угол между скоростью и магнитной индукцией, затем найдите синус этого угла. По строке таблицы можно быстро оценить, будет ли сила нулевой, максимальной или промежуточной.

Для углов, близких к 0° или 180°, сила мала, а для угла 90° она наибольшая. При произвольном угле достаточно подставить значение sin α в основную формулу.

Разбор задач

Задача 1

Заряд частицы равен 2 мкКл, скорость — 3·10⁵ м/с, магнитная индукция — 0,4 Тл. Движение перпендикулярно полю, поэтому α = 90°. Требуется найти модуль силы.

1. Переведём заряд в СИ: |q| = 2·10⁻⁶ Кл.
2. Запишем формулу: F = |q|vB sin α. Так как sin 90° = 1, F = |q|vB.
3. Подставим значения: F = 2·10⁻⁶·3·10⁵·0,4 = 0,24 Н.

Ответ: 0,24 Н.

Задача 2

Электрон движется со скоростью 2·10⁶ м/с в поле B = 0,05 Тл под углом 30°. Для модуля силы берём заряд электрона по абсолютной величине: |q| = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Знак заряда здесь не нужен, поскольку требуется именно модуль.

1. Используем формулу F = |q|vB sin 30°.
2. Подставим sin 30° = 0,5: F = 1,6·10⁻¹⁹·2·10⁶·0,05·0,5.
3. Вычислим произведение: F = 8·10⁻¹⁵ Н.

Ответ: 8·10⁻¹⁵ Н.

Задача 3

Известны F = 1,6·10⁻¹³ Н, |q| = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, v = 2·10⁷ м/с и B = 0,1 Тл. Нужно восстановить угол, поэтому сначала найдём его синус. Затем учтём, что один и тот же синус имеют два угла от 0° до 180°.

1. Выразим синус: sin α = F/(|q|vB).
2. Вычислим знаменатель: |q|vB = 1,6·10⁻¹⁹·2·10⁷·0,1 = 3,2·10⁻¹³.
3. Получим sin α = 1,6·10⁻¹³/(3,2·10⁻¹³) = 0,5.
4. Следовательно, α = 30° или α = 150°.

Ответ: 30° или 150°.

Типичные ошибки

Используют q вместо |q|. Отрицательный заряд даёт отрицательный результат, хотя модуль силы отрицательным быть не может. Проверьте, требуется ли направление: для модуля всегда берите абсолютное значение заряда.

Подставляют cos α вместо sin α. Косинус описывает составляющую вдоль поля, а магнитная сила связана с перпендикулярной составляющей скорости. Проверьте крайние случаи: при α = 0° правильная формула должна давать ноль.

Считают силу максимальной при движении вдоль поля. При α = 0° или 180° синус равен нулю, поэтому сила отсутствует. Максимум проверяется подстановкой α = 90°, когда sin α = 1.

Забывают перевести единицы. Микрокулоны, нанокулоны и километры в секунду нельзя подставлять в формулу без перехода к СИ. Перед вычислением запишите заряд в кулонах, скорость в м/с, а индукцию — в теслах.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия заряда, скорости, вектора магнитной индукции, синуса угла и составляющей вектора. Эти знания позволяют понять происхождение множителя sin α, а не просто запомнить формулу.

Тема связана с движением заряженных частиц в магнитном поле, силой Ампера и правилом левой руки. Направление силы Лоренца помогает объяснять отклонение частиц, хотя в данном параграфе рассматривается только её модуль.

Формула используется при изучении траекторий частиц, масс-спектрометра и ускорителей заряженных частиц. Во всех этих задачах важно определить поперечную составляющую скорости и правильно выбрать единицы СИ.

Что запомнить

• Модуль силы Лоренца вычисляют по формуле F = |q|vB sin α.
• В формуле α — угол между скоростью частицы и магнитной индукцией.
• При движении вдоль магнитного поля сила Лоренца равна нулю.
• При перпендикулярном движении сила Лоренца максимальна и равна |q|vB.
• Модуль силы не зависит от знака заряда.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и не совершает работы.
• Единица силы Лоренца в СИ — ньютон.