§ 4. Проводники и заряженные частицы в магнитном поле

Определения и обозначения

Магнитная индукция — векторная величина B, характеризующая магнитное поле. Её направление совпадает с направлением линий магнитного поля, а единица измерения — тесла (Тл). Величина B показывает, насколько сильно поле действует на движущиеся заряды и токи.

Сила Ампера — сила, действующая на проводник с током в магнитном поле: F = BIl sin α. Здесь I — сила тока, l — длина части проводника в поле, α — угол между проводником и линиями индукции. Формула позволяет вычислить действие поля на весь участок с током.

Правило левой руки определяет направление силы Ампера. Если линии магнитной индукции входят в ладонь, а четыре пальца направлены по току, отставленный большой палец показывает направление силы. Это правило нужно, чтобы не угадывать направление движения проводника.

Сила Лоренца действует на движенную заряженную частицу: F = |q|vB sin α. Здесь q — заряд, v — скорость частицы, а α — угол между скоростью и магнитным полем. Сила зависит от модуля заряда, а её направление дополнительно определяется знаком заряда.

Как это устроено

Проводник с током содержит множество свободных зарядов, которые упорядоченно движутся. Магнитное поле действует на каждый такой заряд с силой Лоренца. Суммарное действие этих сил передаётся кристаллической решётке проводника, поэтому весь проводник испытывает силу Ампера.

Сила Ампера увеличивается вместе с B, I и l, потому что усиление поля, тока или длины участка увеличивает число и величину взаимодействующих зарядов. Угол α учитывает, какая часть движения зарядов направлена поперёк поля. Поэтому сила максимальна при α = 90° и равна F = BIl.

Направление силы находят правилом левой руки: оно зависит от направления магнитного поля и тока. Если проводник расположен вдоль линий поля, заряды движутся параллельно полю и не испытывают поперечного отклонения. В формуле это выражается так: sin 0° = 0, значит, сила Ампера равна нулю.

Отдельный заряд испытывает силу Лоренца, если он движется не вдоль линий поля. Для положительного заряда направление силы находят по направлению скорости, а для отрицательного результат меняют на противоположный. Это происходит из-за знака q в векторной формуле силы.

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы, поэтому работа A = Fs cos 90° равна нулю. Скорость по модулю и кинетическая энергия не меняются, но направление движения непрерывно поворачивается. Если частица влетает поперёк однородного поля, сила Лоренца становится центростремительной, и траектория превращается в окружность.

Силы, действующие на проводник и заряженную частицу в магнитном поле

Сначала определите объект: проводник с током или отдельная частица. Затем выберите формулу и проверьте, какой именно угол дан в условии.

Таблица также помогает сравнить причины возникновения сил: сила Ампера является суммарным действием сил Лоренца на движущиеся заряды проводника.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Проводник длиной 0,4 м расположен перпендикулярно полю B = 0,5 Тл. Сила тока равна 3 А. Требуется найти силу Ампера.

1. Используем F = BIl sin α.
2. Так как проводник перпендикулярен линиям поля, α = 90°, а sin 90° = 1.
3. Подставляем значения: F = 0,5 · 3 · 0,4 · 1 = 0,6 Н.

Ответ: сила Ампера равна 0,6 Н.

Задача 2

Условие. Протон движется со скоростью 2 · 10⁶ м/с перпендикулярно полю B = 0,2 Тл. Нужно найти модуль силы и указать её направление.

1. Для протона берём q = 1,6 · 10⁻¹⁹ Кл, а при перпендикулярном движении sin α = 1.
2. F = qvB = 1,6 · 10⁻¹⁹ · 2 · 10⁶ · 0,2 = 6,4 · 10⁻¹⁴ Н.
3. Протон положительный, поэтому направление определяем правилом левой руки для скорости заряда; для отрицательной частицы оно было бы противоположным.

Ответ: F = 6,4 · 10⁻¹⁴ Н; конкретное направление задаётся направлениями скорости и магнитного поля.

Задача 3

Условие. Частица влетает перпендикулярно полю и движется по окружности радиусом 5 см. Известны её масса m, модуль заряда |q| и индукция B. Нужно определить скорость и период обращения.

1. Переводим радиус: r = 5 см = 0,05 м.
2. Приравниваем силу Лоренца к центростремительной: |q|vB = mv²/r. После сокращения v получаем v = |q|Br/m.
3. Период равен длине окружности, делённой на скорость: T = 2πr/v = 2πm/(|q|B).

Ответ: v = |q|Br/m, T = 2πm/(|q|B). Период не зависит от радиуса, если поле однородно и скорость нерелятивистская.

Типичные ошибки

Иногда в формулу подставляют длину всего провода, хотя поле действует только на его часть. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения условия. Проверьте, какой участок находится внутри магнитного поля, и берите именно его длину l.

Множитель sin α нередко забывают или считают силу максимальной при параллельном расположении. На самом деле при α = 90° сила максимальна, а при α = 0° она равна нулю. Перед вычислением подпишите угол между проводником или скоростью и полем.

Для отрицательного заряда иногда оставляют направление, полученное для положительного. Причина ошибки — использование только геометрического правила без учёта знака q. Сначала найдите направление для положительного заряда, затем разверните его на 180°.

Неверно считать, что магнитное поле разгоняет частицу. Сила перпендикулярна скорости и в идеальном случае работы не совершает. Проверьте себя: меняется направление скорости, но её модуль и кинетическая энергия остаются постоянными.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия вектора магнитной индукции, силы тока, электрического заряда и скорости. Также пригодятся правило векторного произведения и представление о движении по окружности.

Эти законы объясняют работу электродвигателя, масс-спектрометра и ускорителей заряженных частиц. Они также описывают движение частиц в магнитосфере Земли.

Электрическое поле действует на заряд даже в покое и может изменять модуль скорости. Магнитное поле действует только на движущийся заряд и преимущественно меняет направление его движения.

Что запомнить

• Сила Ампера действует на проводник с током в магнитном поле.
• Модуль силы Ампера равен F = BIl sin α.
• Сила Лоренца действует на движенный заряд: F = |q|vB sin α.
• Направление силы определяется направлениями поля, скорости или тока и знаком заряда.
• Магнитная сила равна нулю, если заряд покоится или движется вдоль линий поля.
• Магнитная сила перпендикулярна скорости и не изменяет кинетическую энергию частицы.
• При движении заряда перпендикулярно однородному магнитному полю траектория является окружностью.