3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу; её модуль равен |q|vB sin α, где q — заряд, v — скорость, B — магнитная индукция, α — угол между скоростью и полем. Направление силы зависит от знака заряда. Эта формула помогает определить, будет ли поле заметно менять движение: при движении вдоль поля сила равна нулю.

Радиус окружности — радиус траектории частицы, которая движется перпендикулярно однородному магнитному полю. Он равен r = mv/(|q|B), где m — масса частицы. Формула нужна, чтобы узнать размер траектории: тяжёлая или быстрая частица отклоняется слабее, а сильное поле — сильнее.

Период обращения — время, за которое частица совершает один полный оборот по окружности. В однородном поле T = 2πm/(|q|B), поэтому период не зависит от скорости частицы. Это позволяет находить время оборота, даже если скорость неизвестна, но масса, заряд и магнитная индукция известны.

Шаг винтовой линии — расстояние вдоль магнитного поля, которое частица проходит за один период обращения. Его находят по формуле h = v∥T, где v∥ — составляющая скорости вдоль поля. Эта величина показывает, насколько далеко сместится частица вдоль поля за каждый виток траектории.

Как это устроено

Магнитная сила появляется только тогда, когда у скорости есть составляющая поперёк поля. Это видно из формулы F = |q|vB sin α: при движении вдоль поля α = 0 и синус равен нулю, а при поперечном движении сила максимальна. Вектор силы направлен перпендикулярно и скорости, и магнитной индукции, поэтому он не толкает частицу ни вперёд, ни назад. Именно это направление определяет, как будет изгибаться траектория.

Если скорость перпендикулярна полю, магнитная сила всё время направлена поперёк мгновенной скорости. Она меняет направление движения, но не модуль скорости, а потому служит центростремительной силой — силой, которая удерживает тело на окружности. Приравнивая |q|vB и mv²/r, получаем r = mv/(|q|B). Из этой зависимости следует: большая масса или скорость дают более широкий поворот, а сильное поле или больший модуль заряда — более тесный.

Когда скорость направлена вдоль поля, магнитная сила равна нулю, потому что частица не движется поперёк силовых линий. На неё не действует магнитное ускорение, поэтому в однородном поле она продолжает двигаться прямолинейно и равномерно. Если скорость направлена строго против поля, результат тот же: угол между векторами равен 180°, и синус этого угла также равен нулю. Следовательно, само наличие поля ещё не означает, что траектория обязательно искривится.

При наклонном влёте скорость удобно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие. Перпендикулярная полю составляющая v⊥ вызывает вращение по окружности, а параллельная составляющая v∥ не испытывает магнитного воздействия и сохраняется. Одновременно происходят оба движения, поэтому частица описывает винтовую линию вокруг направления поля. Радиус витка определяет v⊥, а расстояние между соседними витками — v∥ за время одного оборота.

Направление вращения связано со знаком заряда: при замене положительного заряда на отрицательный сила Лоренца меняет направление, и частица закручивается в противоположную сторону. При этом радиус зависит от модуля заряда, а не от его знака. Период можно получить из длины окружности и скорости: T = 2πr/v, а после подстановки радиуса скорость сокращается. Поэтому при неизменных массе, заряде и поле частицы с разной скоростью обращаются с одинаковым периодом.

Движение частицы при разных направлениях скорости относительно магнитного поля

Сначала сравни направление скорости с направлением магнитного поля, затем выбери соответствующую строку. При наклонном влёте раздели скорость на составляющие: это покажет, какую величину подставлять в формулу радиуса и как найти шаг. Знак заряда нужно учитывать отдельно, когда требуется определить направление вращения.

Разбор задач

Задача 1. Протон влетает перпендикулярно однородному магнитному полю со скоростью 2,0·10⁶ м/с. Найдите радиус траектории при B = 0,20 Тл. Используйте массу протона m = 1,67·10⁻²⁷ кг и элементарный заряд e = 1,60·10⁻¹⁹ Кл.

1. Так как скорость перпендикулярна полю, её поперечная составляющая равна всей скорости. На окружности магнитная сила сообщает центростремительное ускорение, поэтому |q|vB = mv²/r. Выражаем радиус: r = mv/(|q|B).
2. Подставляем модуль заряда протона, его массу, скорость и индукцию: r = (1,67·10⁻²⁷·2,0·10⁶)/(1,60·10⁻¹⁹·0,20). В числителе получается 3,34·10⁻²¹, в знаменателе — 3,20·10⁻²⁰. Деление даёт примерно 0,104 м.

Ответ: радиус траектории протона равен примерно 0,10 м, или 10 см. Проверка размерности даёт метры, как и должно быть для радиуса. Знак протонного заряда на величину радиуса не влияет.

Задача 2. Электрон движется по окружности радиусом 4,0 см в поле с индукцией 1,0·10⁻³ Тл. Найдите период обращения. Достаточно знать массу электрона m = 9,11·10⁻³¹ кг и модуль его заряда |q| = 1,60·10⁻¹⁹ Кл.

1. Для периода используем T = 2πm/(|q|B). Радиус в этой формуле не указан, потому что период не зависит ни от радиуса, ни от скорости: при выводе они сокращаются. Переводить радиус в метры для вычисления не требуется.
2. Подставляем данные: T = 2π·9,11·10⁻³¹/(1,60·10⁻¹⁹·1,0·10⁻³). Знаменатель равен 1,60·10⁻²², а результат вычисления составляет около 3,58·10⁻⁸ с. Здесь используется модуль заряда электрона.

Ответ: период обращения электрона равен примерно 3,6·10⁻⁸ с. Если известен радиус, но неизвестна скорость, это не мешает решить задачу. Период задают параметры частицы и магнитного поля.

Задача 3. Частица с зарядом 3,2·10⁻¹⁹ Кл и массой 6,4·10⁻²⁷ кг влетает в поле B = 0,50 Тл со скоростью 1,0·10⁶ м/с под углом 30° к полю. Найдите радиус окружности, период и шаг винтовой линии. Считаем указанный заряд модулем заряда частицы.

1. Сначала раскладываем скорость: v⊥ = v sin 30° = 5,0·10⁵ м/с, а v∥ = v cos 30° ≈ 8,66·10⁵ м/с. Радиус зависит от поперечной составляющей, поэтому r = mv⊥/(|q|B). Получаем r = (6,4·10⁻²⁷·5,0·10⁵)/(3,2·10⁻¹⁹·0,50) = 0,020 м.
2. Период вычисляем отдельно по формуле T = 2πm/(|q|B). Подстановка даёт T = 2π·6,4·10⁻²⁷/(3,2·10⁻¹⁹·0,50) ≈ 2,51·10⁻⁷ с. Для этого расчёта скорость и угол уже не нужны.
3. За найденный период частица проходит вдоль поля расстояние h = v∥T. Поэтому h ≈ 8,66·10⁵·2,51·10⁻⁷ ≈ 0,218 м. Здесь используется именно параллельная, а не полная скорость.

Ответ: радиус окружности — 0,020 м, период — 2,51·10⁻⁷ с, шаг винтовой линии — около 0,22 м. Все три величины найдены через разные составляющие движения. Радиус задаётся поперечной составляющей, а шаг — параллельной.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что магнитная сила направлена вдоль скорости. Так можно подумать, если спутать магнитное действие с толчком, который разгоняет частицу. Но сила Лоренца перпендикулярна скорости и изменяет её направление, а не модуль. Проверь себя: если скорость не меняется по величине, сила не направлена вдоль неё.

Ошибка: подставлять полную скорость в формулу радиуса при наклонном влёте. Это делают, когда забывают, что только поперечная составляющая скорости вызывает вращение. Нужно использовать r = mv⊥/(|q|B), где v⊥ = v sin α. Для проверки представь случай движения строго вдоль поля: радиус вращения должен исчезнуть, потому что вращения нет.

Ошибка: не учитывать знак заряда, определяя направление вращения. В формулу радиуса подставляют модуль заряда, и из-за этого может показаться, что знак нигде не важен. На величины радиуса и периода он действительно не влияет, но для отрицательного заряда направление силы противоположно. Проверь решение, отдельно указав знак заряда при применении правила левой руки.

Ошибка: считать, что поле совершает работу и меняет кинетическую энергию частицы. Такое предположение возникает, если любую силу считать способной ускорить тело по направлению движения. Однако сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому её работа равна нулю. Проверка: модуль скорости остаётся постоянным, следовательно, не меняется и кинетическая энергия.

Связь с другими темами

Для понимания магнитного действия полезны понятия магнитной индукции и силы, действующей на проводник с током в магнитном поле. Направление силы удобно определять правилом левой руки, предварительно учитывая знак заряда частицы. Вывод радиуса опирается на центростремительное ускорение и второй закон Ньютона: магнитная сила играет роль силы, искривляющей траекторию. Эти знания применяются при изучении масс-спектрометров, ускорителей заряженных частиц и движения частиц в магнитосфере.

Что запомнить

• Модуль магнитной силы равен |q|vB sin α.
• Магнитная сила перпендикулярна скорости и не меняет её модуль.
• При перпендикулярном влёте частица движется по окружности радиусом mv/(|q|B).
• Период обращения равен 2πm/(|q|B) и не зависит от скорости.
• При движении вдоль поля магнитная сила равна нулю.
• При наклонном влёте траектория представляет собой винтовую линию.
• Знак заряда определяет направление вращения.