3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле: F = |q|vB sin α. Здесь q — заряд, v — скорость, B — магнитная индукция, α — угол между скоростью и полем. Направление силы зависит от знака заряда: для отрицательного заряда оно противоположно направлению, найденному для положительного.

Радиус траектории — радиус окружности, по которой движется поперечная составляющая скорости. Он вычисляется по формуле r = mv⊥/(|q|B), где v⊥ — скорость перпендикулярно полю. Радиус нужен, чтобы определить размер орбиты частицы и понять, насколько сильно поле искривляет её путь.

Период обращения — время одного полного оборота частицы по окружности. Для однородного поля T = 2πm/(|q|B), поэтому период определяется массой, модулем заряда и магнитной индукцией. Скорость в эту формулу не входит, если движение нерелятивистское.

Шаг спирали — расстояние вдоль магнитного поля, которое частица проходит за один период обращения. Он равен h = v∥T, где v∥ — составляющая скорости вдоль поля. Эта величина показывает, насколько далеко друг от друга расположены соседние витки спирали.

Как это устроено

Магнитная сила перпендикулярна скорости частицы, потому что её направление задаётся векторным произведением скорости и магнитной индукции. Работа силы равна произведению силы на перемещение в направлении силы, а при перпендикулярности это произведение равно нулю. Поэтому скорость по модулю и кинетическая энергия сохраняются, хотя направление движения постоянно меняется.

Если скорость направлена перпендикулярно магнитному полю, угол α равен 90°, а сила Лоренца максимальна: F = |q|vB. Она всё время направлена к центру искривлённой траектории, то есть играет роль центростремительной силы. В результате частица движется по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Радиус окружности находят из равенства |q|vB = mv²/r. После сокращения одной скорости получается r = mv/(|q|B). Значит, тяжёлая частица или частица с большей скоростью движется по дуге большего радиуса, а увеличение модуля заряда или индукции сильнее искривляет траекторию и уменьшает радиус.

Период можно получить из связи длины окружности и скорости: T = 2πr/v. Если подставить r = mv/(|q|B), скорость сократится, и получится T = 2πm/(|q|B). Направление вращения при этом определяется знаком заряда: частицы с одинаковыми массами и скоростями, но противоположными зарядами закручиваются в разные стороны.

При произвольном угле скорость раскладывают на v∥ и v⊥. Параллельная составляющая не создаёт магнитной силы и остаётся постоянной, а перпендикулярная вызывает круговое движение. Одновременное вращение и равномерное перемещение вдоль поля образуют винтовую траекторию, или спираль.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Сначала определите угол между скоростью и полем, а затем выберите соответствующую строку. При наклонном движении в формулу радиуса подставляют только v⊥, тогда как для шага спирали используют v∥.

Знак заряда в таблице не влияет на модули r и T, но меняет сторону вращения. Если скорость параллельна полю, кругового движения нет, поэтому говорить о периоде обращения нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Частица с массой m, зарядом q и скоростью v влетает перпендикулярно в поле с индукцией B. Найти радиус траектории.

1. Так как скорость перпендикулярна полю, sin α = 1, поэтому магнитная сила равна F = |q|vB.
2. Эта сила является центростремительной: |q|vB = mv²/r.
3. Выразим радиус, сократив одну скорость: r = mv/(|q|B).

Ответ: r = mv/(|q|B). Чем больше масса или скорость, тем больше радиус; увеличение |q| или B уменьшает его.

Задача 2. Протон и электрон движутся перпендикулярно одному магнитному полю с одинаковыми по модулю скоростями. Сравнить радиусы и периоды обращения.

1. Для обеих частиц |q| одинаково и равно элементарному заряду e, поэтому радиус пропорционален массе: r ∝ m.
2. Следовательно, rп/rэ = mп/mэ ≈ 1836, то есть протон движется по окружности гораздо большего радиуса.
3. Период также пропорционален массе: Tп/Tэ = mп/mэ ≈ 1836. Из-за противоположных знаков зарядов частицы вращаются в противоположные стороны.

Ответ: радиус и период протона примерно в 1836 раз больше, чем у электрона; направления вращения противоположны.

Задача 3. Частица влетает в поле под углом α к его направлению. Известны v, m, q и B. Найти радиус спирали и шаг витка.

1. Разложим скорость: v⊥ = v sin α, v∥ = v cos α.
2. Поперечная составляющая задаёт радиус: r = mv sin α/(|q|B).
3. Период равен T = 2πm/(|q|B), а за это время вдоль поля частица проходит h = v∥T.
4. Подставим v∥: h = 2πmv cos α/(|q|B).

Ответ: r = mv sin α/(|q|B), h = 2πmv cos α/(|q|B). При α = 90° шаг равен нулю, а при α = 0° вращение исчезает.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что магнитная сила изменяет скорость по модулю. Так думают, потому что сила обычно связывается с ускорением, но здесь она перпендикулярна скорости и меняет только её направление. Проверьте себя: если сила перпендикулярна перемещению, её работа равна нулю.

Ошибка 2. Подставлять полную скорость в формулу радиуса при движении под углом. Причина — забытая векторная составляющая: окружность создаёт только движение поперёк поля. Сначала найдите v⊥ = v sin α.

Ошибка 3. Не учитывать знак заряда при определении направления вращения. Для радиуса и периода берут |q|, но направление силы для отрицательного заряда противоположно направлению для положительного. Проверьте, использовали ли вы знак только при построении направления, а не в модуле формулы.

Ошибка 4. Считать, что период зависит от скорости. Такое впечатление возникает из-за формулы T = 2πr/v, однако радиус одновременно растёт вместе со скоростью. Подстановка r показывает, что T = 2πm/(|q|B) и от v не зависит.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны сила Лоренца, правило левой руки, второй закон Ньютона и формулы движения по окружности. Эти знания позволяют связать магнитную силу с центростремительным ускорением и определить параметры траектории.

Тема применяется в ускорителях заряженных частиц и масс-спектрометрах, где по искривлению пути изучают частицы. Похожие движения встречаются при исследовании заряженных частиц в магнитных полях космоса.

Что запомнить

• Магнитная сила действует на движущийся заряд и перпендикулярна его скорости.
• Магнитное поле само по себе не меняет кинетическую энергию частицы.
• При движении поперёк поля траектория частицы — окружность.
• Радиус окружности равен r = mv/(|q|B).
• Период обращения равен T = 2πm/(|q|B) и не зависит от скорости.
• При наклонном влёте частица движется по спирали: поперечная составляющая скорости вызывает вращение, параллельная — продвижение вдоль поля.