3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле. Её модуль равен Fл = |q|vB sin α, где q — заряд, v — скорость, B — магнитная индукция, а α — угол между ними. Направление силы зависит от знака заряда и показывает, куда будет изгибаться траектория.

Радиус траектории — радиус окружности, по которой движется составляющая скорости, перпендикулярная магнитному полю. Он обозначается R и вычисляется по формуле R = mv⊥/(|q|B), где v⊥ — поперечная составляющая скорости. Радиус нужен, чтобы определить размер окружности или винтовой линии.

Период обращения — время одного полного оборота частицы по окружности. Для однородного магнитного поля T = 2πm/(|q|B). Эта величина позволяет узнать, как часто частица возвращается в прежнее положение на своей круговой траектории.

Шаг винтовой линии — расстояние вдоль магнитного поля, которое частица проходит за один период. Он равен h = v∥T, где v∥ — составляющая скорости вдоль поля. По шагу можно определить, насколько далеко друг от друга расположены соседние витки траектории.

Как это устроено

Магнитная сила возникает только тогда, когда заряд движется относительно магнитного поля. Она направлена одновременно перпендикулярно скорости частицы и линиям магнитного поля. Поэтому сила не имеет составляющей вдоль скорости: она не может увеличить или уменьшить скорость, но способна непрерывно поворачивать её вектор.

Если скорость направлена перпендикулярно магнитному полю, угол α равен 90°, а sin α = 1. Сила Лоренца при этом всегда перпендикулярна скорости и сохраняет постоянный модуль, поэтому выполняет роль центростремительной силы. Именно такое действие силы заставляет частицу двигаться по окружности, а не по прямой.

Для окружности центростремительная сила равна mv²/R, а магнитная сила при поперечном движении — |q|vB. Приравнивая эти выражения, получаем |q|vB = mv²/R и R = mv/(|q|B). Значит, тяжёлая или более быстрая частица движется по окружности большего радиуса, а сильное поле или больший заряд сильнее искривляют её путь.

Период можно найти как отношение длины окружности к скорости: T = 2πR/v. После подстановки радиуса скорость сокращается, и получается T = 2πm/(|q|B). Поэтому при увеличении скорости частица проходит большую окружность, но делает это за то же время.

При наклонном влёте скорость раскладывают на две независимые составляющие. Компонента v⊥ вызывает круговое движение, а v∥ не изменяется, потому что магнитная сила на неё не действует. Одновременное вращение поперёк поля и равномерное перемещение вдоль него дают винтовую линию, радиус которой определяется v⊥, а шаг — v∥.

Движение заряженной частицы при разных направлениях скорости

В таблице сначала определите направление скорости, а затем выберите соответствующую модель движения. Для наклонного влёта используйте составляющие скорости: v⊥ отвечает за радиус, а v∥ — за перемещение вдоль поля. Если одна из составляющих равна нулю, винтовая линия превращается в окружность или прямую.

Разбор задач

Задача 1. Радиус круговой траектории

Заряженная частица с массой m, модулем заряда |q| и скоростью v влетает перпендикулярно однородному полю с индукцией B. Требуется найти радиус траектории. Численные данные подставляются в итоговую формулу с согласованными единицами.

1. Так как скорость перпендикулярна полю, v⊥ = v.
2. Магнитная сила является центростремительной: |q|vB = mv²/R.
3. Выразим радиус: R = mv/(|q|B).

Ответ: R = mv/(|q|B). Чем больше масса или скорость, тем больше радиус; увеличение B или |q| уменьшает его.

Задача 2. Период обращения

Частица движется по окружности в магнитном поле. Нужно найти период и сравнить его с периодом другой частицы, имеющей ту же массу и заряд, но другую скорость. Скорости могут быть различными, однако поле должно оставаться однородным.

1. Длина круговой траектории равна 2πR, поэтому T = 2πR/v.
2. Подставим R = mv/(|q|B): T = 2πmv/(|q|Bv).
3. Сократим v и получим T = 2πm/(|q|B).

Ответ: обе частицы имеют одинаковый период, если их массы, модули зарядов и магнитная индукция одинаковы. У более быстрой частицы будет только больший радиус.

Задача 3. Винтовая траектория

Частица со скоростью v влетает в поле под углом α к направлению магнитной индукции. Известны m, |q| и B; нужно найти радиус и шаг. Сначала отделим движение поперёк поля от движения вдоль него.

1. Найдём составляющие: v⊥ = v sin α и v∥ = v cos α.
2. Радиус вращения определяет поперечная составляющая: R = mv sin α/(|q|B).
3. Период равен T = 2πm/(|q|B), поэтому h = v cos α · 2πm/(|q|B).

Ответ: R = mv sin α/(|q|B), h = 2πmv cos α/(|q|B). При α = 90° шаг становится нулевым, а при α = 0° вращение исчезает.

Типичные ошибки

Считать, что магнитная сила изменяет скорость по модулю. Так думают, потому что сила действительно вызывает ускорение. Проверьте её направление: перпендикулярность скорости означает изменение только направления движения.

Подставлять полную скорость вместо перпендикулярной составляющей. Это происходит, когда наклонное движение ошибочно считают круговым с исходной скоростью. Разложите скорость на компоненты и используйте в радиусе именно v⊥.

Забывать модуль заряда. Знак заряда нужен для направления силы, но радиус и период не бывают отрицательными. В формулах поставьте |q| и проверьте, что результат имеет положительное значение.

Считать, что знак заряда меняет радиус. На самом деле частицы с противоположными зарядами движутся по окружностям одинакового радиуса при равных остальных условиях. Различается направление закручивания, которое можно проверить правилом для силы Лоренца.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны представления о силе Ампера и правилах определения направления магнитной силы. Также используются движение по окружности, центростремительное ускорение и равенство силы и произведения массы на ускорение.

Движение заряженных частиц в магнитном поле связано с действием поля на токи. Эти закономерности применяются в ускорителях частиц и масс-спектрометрах, где по траектории определяют свойства частиц.

Что запомнить

• Магнитная сила действует только на движущийся заряд.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и магнитному полю.
• Магнитное поле не изменяет модуль скорости частицы.
• При движении поперёк поля траектория является окружностью.
• При наклонном влёте траектория является винтовой линией.
• Период обращения равен T = 2πm/(|q|B) и не зависит от скорости.
• Знак заряда определяет направление закручивания траектории.