3. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле. Её модуль равен F_л = |q|vB sin α, а направление определяется скоростью, магнитным полем и знаком заряда. Она нужна, чтобы понять, почему частица отклоняется и по какой траектории будет двигаться.

Радиус траектории — радиус окружности, по которой движется частица при скорости, перпендикулярной полю. Он вычисляется по формуле r = mv/(|q|B). Чем больше масса или скорость, тем радиус больше; чем больше модуль заряда или магнитная индукция, тем радиус меньше.

Циклотронный период — время одного полного оборота частицы по окружности. В нерелятивистском случае T = 2πm/(|q|B), поэтому период зависит от массы, модуля заряда и магнитной индукции, но не зависит от скорости и радиуса. Это позволяет сравнивать движения частиц с разными скоростями.

Шаг винтовой линии — расстояние, на которое частица перемещается вдоль магнитного поля за один оборот. Он равен h = v_∥T, где v_∥ — составляющая скорости вдоль поля. По шагу можно определить, насколько быстро траектория закручивается и продвигается вперёд.

Как это устроено

Магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна скорости частицы. Работа силы определяется произведением силы на перемещение вдоль её направления, а при перпендикулярности это произведение равно нулю. Поэтому магнитное поле не изменяет кинетическую энергию, а только поворачивает вектор скорости.

Если скорость полностью перпендикулярна магнитному полю, сила Лоренца всё время направлена поперёк движения. Такая сила может играть роль центростремительной: она не даёт частице удалиться по прямой, а непрерывно искривляет её путь. В результате частица движется по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Для окружности центростремительная сила равна mv²/r, а сила Лоренца при α = 90° равна |q|vB. Приравнивая их, получаем |q|vB = mv²/r и r = mv/(|q|B). Из формулы видно, что увеличение скорости или массы растягивает траекторию, а увеличение модуля заряда или поля делает её более искривлённой.

Период можно найти как отношение длины окружности к скорости: T = 2πr/v. Подставим r = mv/(|q|B) и получим T = 2πm/(|q|B). Скорость сокращается, потому что быстрая частица проходит больший круг, а медленная — меньший; поэтому в нерелятивистском приближении период одинаков при любой скорости.

При наклонном влёте скорость раскладывают на v_⊥ = v sin α и v_∥ = v cos α. Поперечная составляющая вызывает круговое движение, а продольная не испытывает магнитного отклонения и сохраняется постоянной. Одновременное вращение и равномерное перемещение вдоль поля образуют винтовую линию с радиусом r = mv_⊥/(|q|B) и шагом h = v_∥T.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Сначала определите угол между скоростью и полем, а затем выберите соответствующую строку. При наклонном движении не подставляйте полную скорость в формулу радиуса: используйте только v_⊥. Для направления отклонения отдельно учитывайте знак заряда.

Разбор задач

1. Радиус окружности

Условие. Частица с массой m, зарядом q и скоростью v влетает перпендикулярно в поле с индукцией B. Требуется найти радиус траектории. Числовые значения можно подставить в итоговую формулу.

1. При перпендикулярном влёте α = 90°, поэтому sin α = 1.
2. Сила Лоренца равна |q|vB и играет роль центростремительной силы mv²/r.
3. Из равенства |q|vB = mv²/r выражаем радиус: r = mv/(|q|B).

Ответ: радиус траектории равен r = mv/(|q|B). Знак заряда не влияет на радиус, а определяет сторону закручивания траектории.

2. Заряд или период по радиусу

Условие. Известны радиус окружности r, масса частицы m и магнитная индукция B. Нужно определить модуль заряда или период обращения. Если известна скорость, можно найти заряд напрямую, а если скорости нет — период по массе, заряду и полю.

1. Из формулы r = mv/(|q|B) получаем |q| = mv/(Br), если скорость v задана.
2. Для периода используем T = 2πm/(|q|B), не подставляя радиус или скорость.
3. Если требуется именно знак заряда, одних данных о радиусе недостаточно: его определяют по направлению отклонения.

Ответ: |q| = mv/(Br), а T = 2πm/(|q|B). Модуль заряда и его знак — разные сведения.

3. Винтовая траектория

Условие. Частица со скоростью v входит в поле B под углом α к линиям поля, её масса равна m, а модуль заряда — |q|. Нужно найти радиус винтовой линии и её шаг.

1. Разлагаем скорость: v_⊥ = v sin α и v_∥ = v cos α.
2. Поперечная составляющая задаёт радиус: r = mv sin α/(|q|B).
3. Сначала находим T = 2πm/(|q|B), затем шаг: h = v cos α · T.

Ответ: r = mv sin α/(|q|B), h = 2πmv cos α/(|q|B). При α = 90° шаг равен нулю, а при α = 0° сила Лоренца исчезает.

Типичные ошибки

Считать, что магнитная сила изменяет скорость по модулю, — ошибка из-за смешения скорости и её направления. Сила перпендикулярна скорости, поэтому меняет только направление движения. Проверьте себя: кинетическая энергия и модуль скорости должны оставаться постоянными.

Подставлять полную скорость в формулу радиуса при наклонном влёте неправильно, потому что окружность создаёт лишь поперечная составляющая. Нужно использовать v_⊥ = v sin α. Если угол равен нулю, радиусная формула должна привести к отсутствию кругового движения.

Не учитывать знак заряда при определении направления отклонения — значит получить зеркально неверную траекторию. Для отрицательного заряда сила направлена противоположно силе для положительного при тех же v и B. Проверьте знак после применения правила левой руки.

Утверждать, что период зависит от скорости или радиуса, — следствие незавершённой подстановки. В формулах T = 2πr/v и r = mv/(|q|B) скорость сокращается. Итоговая проверка: T определяется только m, |q| и B в нерелятивистском случае.

Связь с другими темами

Для понимания движения частицы нужны сила Ампера и сила Лоренца, правило определения их направления, а также движение по окружности и центростремительное ускорение. Эти знания связывают формулу силы с формой траектории.

Движение частиц по окружности используется в циклотроне и других ускорителях заряженных частиц. В космосе такие траектории помогают анализировать движение частиц, а в приборах регистрации — определять их свойства по радиусу искривления.

Что запомнить

• Магнитная сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитному полю.
• Магнитная сила не совершает работы и не меняет кинетическую энергию частицы.
• При скорости, перпендикулярной полю, траектория частицы — окружность.
• Радиус окружности пропорционален поперечной скорости и массе и обратно пропорционален модулю заряда и магнитной индукции.
• Период обращения в нерелятивистском случае не зависит от скорости частицы.
• При наклонном влёте частица движется по винтовой линии; её шаг равен произведению продольной скорости на период.