§ 32. Кинетическая энергия

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия механического движения тела. Она обозначается Eк и вычисляется по формуле Eк = mv²/2, где m — масса тела, а v — его скорость относительно выбранной системы отсчёта. Формула позволяет количественно сравнивать энергию движущихся тел и оценивать, как она изменится при изменении массы или скорости.

Теорема об изменении кинетической энергии утверждает: изменение кинетической энергии тела равно работе равнодействующей всех приложенных к нему сил. Изменение обозначают ΔEк и находят как разность конечной и начальной энергий. Теорема нужна, чтобы связать состояние движения тела до и после действия сил.

Работа равнодействующей силы — работа силы, которая заменяет совместное действие всех сил на тело. Именно эта работа связывает воздействие сил с изменением кинетической энергии, поэтому при применении теоремы нельзя без проверки брать работу только одной силы. Равнодействующая учитывает общий результат действия сил.

Джоуль — единица измерения кинетической энергии в СИ. Из Eк = mv²/2 следует, что 1 Дж = 1 кг·(м/с)² = 1 кг·м²/с². Значит, для расчётов массу выражают в килограммах, а скорость — в метрах в секунду.

Как это устроено

Движущееся тело может действовать на другие тела: например, столкнувшись, оно способно сдвинуть предмет или деформировать его. Такое действие связано с совершением механической работы. Чтобы описывать способность тела совершать работу за счёт движения, вводят кинетическую энергию; чем значительнее возможное действие, тем больше её значение.

Формулу энергии можно получить из второго закона Ньютона и формулы работы. Пусть постоянная равнодействующая F разгоняет тело массой m на расстоянии s из состояния покоя: по второму закону Ньютона F = ma, а работа A = Fs. При равноускоренном движении v² = 2as, поэтому A = mas = mv²/2. Работа разгона равна приобретённой кинетической энергии, откуда следует Eк = mv²/2.

Формула показывает, что при одной и той же скорости энергия прямо пропорциональна массе: если массу увеличить вдвое, энергия тоже удвоится. Зависимость от скорости сильнее, потому что скорость возведена в квадрат. Например, удвоение скорости увеличивает энергию в четыре раза, а утроение — в девять; поэтому даже небольшой рост скорости заметно влияет на энергию.

Знак работы равнодействующей показывает, как меняется энергия. Если работа положительна, сила передаёт телу энергию и кинетическая энергия возрастает; если отрицательна, энергия уменьшается. При нулевой работе изменение кинетической энергии равно нулю, хотя отдельные силы могут действовать на тело.

Скорость измеряют относительно системы отсчёта, поэтому при её смене одно и то же тело может иметь другое значение скорости и кинетической энергии. Например, человек, сидящий в движущемся автобусе, покоится относительно автобуса, но движется относительно дороги. При этом Eк = mv²/2 не может быть отрицательной: масса положительна, а квадрат скорости неотрицателен.

Кинетическая энергия и работа равнодействующей силы

Пользуйтесь таблицей так: сначала определите, что требуется найти — энергию, работу или её изменение, — затем выберите соответствующую формулу. В формуле работы α — угол между силой и перемещением, а Fрез — модуль равнодействующей. Если известны начальная и конечная скорости, удобно применить связь Aрез = ΔEк.

Разбор задач

Задача 1

Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём его кинетическую энергию. Известны масса и скорость, поэтому используем формулу Eк = mv²/2, не забывая возвести скорость в квадрат.

1. Запишем данные: m = 2 кг, v = 3 м/с.
2. Подставим значения: Eк = 2 · 3²/2 = 2 · 9/2 = 9 Дж.
3. Проверим единицы: кг·(м/с)² соответствует джоулю.

Ответ: кинетическая энергия тела равна 9 Дж.

Задача 2

Скорость тела постоянной массы увеличилась в 2 раза. Нужно определить, во сколько раз изменилась кинетическая энергия. Поскольку масса не меняется, сравним квадраты начальной и новой скоростей, а не сами скорости.

1. Обозначим начальную скорость v, тогда новая скорость равна 2v.
2. Начальная энергия Eк₁ = mv²/2, а новая Eк₂ = m(2v)²/2 = 4mv²/2.
3. Разделим новую энергию на начальную: Eк₂/Eк₁ = 4.

Ответ: кинетическая энергия увеличилась в 4 раза.

Задача 3

Тело массой 4 кг покоилось, а затем под действием сил приобрело скорость 5 м/с. Требуется определить работу равнодействующей. Так как тело сначала покоилось, его начальная кинетическая энергия равна нулю, и теорема сводится к вычислению конечной энергии.

1. Запишем данные: m = 4 кг, v₁ = 0, v₂ = 5 м/с.
2. Найдём изменение энергии: ΔEк = mv₂²/2 − mv₁²/2 = 4 · 25/2 − 0 = 50 Дж.
3. По теореме Aрез = ΔEк, следовательно, работа равнодействующей равна 50 Дж.

Ответ: равнодействующая совершила работу 50 Дж.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять скорость без возведения в квадрат или, наоборот, возводить в квадрат массу. Так бывает, когда формулу Eк = mv²/2 вспоминают неточно. Проверьте запись: показатель степени относится только к v, а размерность результата должна быть кг·м²/с².

Вторая ошибка — считать кинетическую энергию отрицательной. Отрицательной может быть работа силы, если она направлена против перемещения, но Eк = mv²/2 неотрицательна: квадрат скорости не бывает меньше нуля. Проверка проста: подставьте численные значения массы и скорости — результат энергии не может получить знак минус.

Третья ошибка — приравнивать работу одной силы изменению кинетической энергии, не учитывая остальные силы. Теорема относится к работе равнодействующей, то есть к общему действию всех приложенных сил. Чтобы проверить решение, перечислите силы и выясните, найдена ли их суммарная работа.

Четвёртая ошибка — считать энергию неизменной при смене системы отсчёта. Причина в том, что легко воспринимать скорость как абсолютную величину, хотя её измеряют относительно выбранной системы. Сравните скорость тела относительно двух систем: если она различается, то по формуле изменится и кинетическая энергия.

Связь с другими темами

Для изучения кинетической энергии нужны понятия скорости и ускорения, второй закон Ньютона, работа силы и единицы СИ. Они позволяют вывести формулу энергии и правильно применять теорему. Особенно полезна эта теорема в задачах, где на тело одновременно действуют несколько сил.

Кинетическая энергия связана с законом сохранения механической энергии и потенциальной энергией. При движении энергия может переходить из кинетической в потенциальную и обратно. Например, при подъёме тела его скорость может уменьшаться, а потенциальная энергия — увеличиваться.

Что запомнить

• Кинетическая энергия связана с движением тела.
• Eк = mv²/2.
• Кинетическая энергия измеряется в джоулях.
• При увеличении скорости в несколько раз энергия увеличивается в квадрат этого числа раз.
• Изменение кинетической энергии равно работе равнодействующей сил.
• Кинетическая энергия зависит от системы отсчёта и не бывает отрицательной.