"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одного тела, зависящая от их взаимного расположения. Она помогает описывать поднятое тело, сжатую пружину и превращения энергии без подробного анализа движения. В параграфе разбираются энергия тяжести и упругой деформации, выбор нулевого уровня, формулы Eп = mgh и Eп = kx²/2, а также связь потенциальной энергии с работой консервативной силы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одного тела, зависящая от их взаимного расположения. Её обозначают Eп и измеряют в джоулях (Дж). Понятие нужно, чтобы описывать запас энергии системы, который может перейти в работу или другой вид энергии.
Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение, относительно которого отсчитывают потенциальную энергию. Его можно выбрать условно, например принять за ноль поверхность пола или земли. Выбор меняет само значение Eп, но не влияет на разность энергий между двумя положениями.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли определяется положением тела относительно нулевого уровня. Вблизи поверхности Земли её находят по формуле Eп = mgh, где m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота. Формула позволяет заменить описание действия силы тяжести расчётом через массу и высоту.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела связана с его растяжением или сжатием. Для пружины при малых упругих деформациях используют формулу Eп = kx²/2, где k — жёсткость, а x — деформация. Эта формула показывает, какой запас энергии может вернуть пружина при восстановлении формы.
Потенциальная энергия относится не к одному телу, а к взаимодействующей системе, потому что изменение положения одного тела меняет взаимодействие с другим. Поднятое тело обладает энергией не само по себе: речь идёт о системе «тело — Земля». Аналогично энергия растянутой пружины связана с пружиной и телом или с частями самой деформированной системы.
Связь с работой возникает потому, что консервативная сила может изменить состояние системы, совершив работу. Консервативной называют силу, работа которой зависит только от начального и конечного положений, а не от пути. Поэтому работа такой силы равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп.
При опускании тела сила тяжести направлена примерно туда же, куда происходит перемещение, поэтому её работа положительна. Высота при этом уменьшается, и по формуле ΔEп = mg(h₂ − h₁) изменение энергии отрицательно. Знак минус в связи A = −ΔEп как раз показывает превращение потенциальной энергии в работу силы тяжести.
Формула Eп = mgh получается из работы силы тяжести при перемещении тела между высотой и выбранным уровнем. Вблизи поверхности Земли сила тяжести почти постоянна, поэтому работа равна произведению mg на изменение высоты. На больших расстояниях от Земли ускорение свободного падения меняется, и простую формулу применять нельзя.
При деформации пружины сила упругости не остаётся постоянной: она увеличивается вместе с деформацией по закону Гука. Поэтому запас энергии равен не просто произведению одной силы на путь, а выражению kx²/2. Квадрат деформации делает энергию одинаковой при растяжении и сжатии на одну и ту же величину.
Сначала определите, какая система рассматривается, и выберите нулевой уровень или состояние отсчёта. Затем проверьте единицы величин: массу берите в килограммах, высоту и деформацию — в метрах, жёсткость — в Н/м. Для изменения энергии удобнее сразу сравнивать начальное и конечное состояния.
| Случай | Формула | Что означают величины | От чего зависит |
|---|---|---|---|
| Тело в поле тяжести Земли | Eп = mgh | m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота относительно нулевого уровня | От массы и высоты |
| Упруго деформированная пружина | Eп = kx²/2 | k — жёсткость пружины, x — деформация | От жёсткости и квадрата деформации |
| Связь с работой консервативной силы | A = −ΔEп | A — работа силы, ΔEп — изменение потенциальной энергии | От начального и конечного состояний системы |
Тело массой 2 кг подняли на высоту 3 м над землёй. Земля принята за нулевой уровень, g = 10 м/с². Требуется найти потенциальную энергию тела.
Ответ: потенциальная энергия тела равна 60 Дж. Она отсчитана относительно поверхности земли, принятой за нулевой уровень.
Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 0,10 м. Нужно определить запас энергии упругой деформации. Деформация уже выражена в метрах, поэтому дополнительный перевод единиц не требуется.
Ответ: потенциальная энергия пружины равна 1 Дж. Знак растяжения не записывают отдельно, поскольку квадрат деформации делает результат неотрицательным.
Тело массой 1,5 кг опустили с высоты 8 м на высоту 2 м, g = 10 м/с². Найдём изменение потенциальной энергии и работу силы тяжести на этом участке.
Ответ: потенциальная энергия уменьшилась на 90 Дж, то есть ΔEп = −90 Дж, а сила тяжести совершила работу 90 Дж. Положительный знак работы согласуется с движением тела вниз.
Считать потенциальную энергию свойством только одного тела — ошибка, потому что она описывает взаимодействие. Так думают, когда не указывают систему «тело — Земля» или «пружина — тело». Проверьте себя вопросом: с чем именно связано изменение энергии?
Полагать, что потенциальную энергию всегда отсчитывают от земли, тоже неверно. Нулевой уровень выбирают условно, чтобы упростить расчёт, и его нужно явно назвать. Перед решением найдите точку, относительно которой задана высота.
Работу силы тяжести иногда приравнивают к изменению потенциальной энергии без знака. Причина ошибки — забытый минус в формуле A = −ΔEп. Проверьте направление движения: при опускании энергия уменьшается, а работа силы тяжести положительна.
В формуле пружины некоторые не возводят деформацию в квадрат или сохраняют знак растяжения. Это происходит из-за механического подстановки значения x вместо внимательного чтения формулы. Запишите сначала x² и убедитесь, что итоговая энергия не отрицательна.
Для изучения потенциальной энергии нужны понятия работы силы, массы, высоты, силы тяжести и закона Гука. Они объясняют, откуда берутся формулы Eп = mgh и Eп = kx²/2 и какие величины в них входят.
Дальше понятие используется в законе сохранения механической энергии. С его помощью решают задачи о движении тел, падении, подъёме и деформации пружин, сравнивая потенциальную и кинетическую энергию.
Почему потенциальную энергию нельзя приписать только одному телу?
Потенциальная энергия возникает из-за взаимодействия тел или частей одной системы. Например, энергия поднятого тела относится к системе «тело — Земля», а энергия пружины — к взаимодействию пружины с прикреплённым телом.
Можно ли выбрать нулевой уровень потенциальной энергии на любой высоте?
Да, нулевой уровень выбирают условно и для удобства решения задачи. При этом изменится численное значение энергии, но разность энергий между двумя положениями останется прежней.
Почему работа силы тяжести и изменение потенциальной энергии имеют противоположные знаки?
При движении вниз сила тяжести совершает положительную работу, а потенциальная энергия уменьшается. Поэтому работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп.
Почему потенциальная энергия пружины зависит от квадрата деформации?
При растяжении или сжатии сила упругости изменяется от нуля до конечного значения, поэтому работа равна площади треугольника на графике «сила — деформация». Эта площадь равна kx²/2.
Меняется ли потенциальная энергия тела, если изменить нулевой уровень?
Её абсолютное значение изменится, поскольку высоты начнут отсчитываться от другой точки. Изменение потенциальной энергии между теми же двумя положениями останется неизменным.
§ 33. Потенциальная энергия
