2. Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя

Определения и обозначения

Тепловой двигатель — устройство, преобразующее часть полученной от нагревателя теплоты в механическую работу. Рабочее тело двигателя получает энергию и приводит в движение механизм. Понятие нужно, чтобы отличать двигатель, который совершает работу за счёт теплоты, от устройств, использующих другие источники энергии.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя — отношение полезной работы к количеству теплоты, полученному от нагревателя. Его обозначают греческой буквой η и рассчитывают по формуле η = A/Q₁. КПД показывает, какая доля входной энергии стала полезной, поэтому по нему удобно сравнивать эффективность двигателей.

Полезная работа — работа, совершаемая двигателем за счёт разности полученной и переданной теплоты. Её обозначают A, а для теплового двигателя вычисляют как A = Q₁ − Q₂. Эта величина нужна, чтобы учесть не всю энергию нагревателя, а только ту часть, которая не ушла холодильнику.

Количество теплоты, переданное холодильнику, — часть энергии, которую двигатель не превращает в полезную работу. Его обозначают Q₂; теплота от нагревателя обозначается Q₁. Различие обозначений помогает правильно составить энергетический баланс и не перепутать входящую энергию с переданной холодильнику.

Как это устроено

Для работы тепловому двигателю нужны нагреватель, рабочее тело и холодильник. Нагреватель передаёт рабочему телу энергию, а рабочее тело — например, газ или пар — расширяется и совершает механическую работу. Холодильник принимает часть оставшейся энергии, потому что после совершения работы рабочее тело должно охладиться и вернуться к состоянию, с которого начинается следующий цикл.

Полученная теплота распределяется между работой двигателя и теплотой, отданной холодильнику. Если от нагревателя поступило Q₁, а холодильнику передано Q₂, то по сохранению энергии оставшаяся часть пошла на полезную работу. Поэтому энергетический баланс имеет вид Q₁ = A + Q₂, а не означает, что вся Q₁ превращается в работу.

Из баланса следует формула A = Q₁ − Q₂. Работа равна разности, потому что Q₂ — это энергия, которую рабочее тело передало холодильнику и уже не может использовать для выполнения данной работы. Например, если двигатель получил 500 Дж и отдал 300 Дж, на механическую работу приходится 200 Дж.

КПД определяют как отношение полезной работы к энергии, полученной от нагревателя: η = A/Q₁. Подставив A = Q₁ − Q₂, получаем η = (Q₁ − Q₂)/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁. Формула показывает, что доля теплоты, ушедшая холодильнику, уменьшает долю, превращённую в работу.

КПД реального теплового двигателя не достигает 100 %, поскольку для повторения цикла часть энергии должна быть передана холодильнику. На эффективность влияют температуры нагревателя и холодильника, устройство двигателя, трение и другие потери. При прочих равных условиях меньшая доля Q₂ означает больший КПД, но одних значений Q₁ и Q₂ недостаточно, чтобы судить о всех причинах потерь.

Величины, характеризующие работу теплового двигателя

При решении задачи сначала выпишите известные Q₁, Q₂ и A, не смешивая полученную и переданную теплоту. Затем выберите строку с нужной связью: для работы используйте баланс энергии, для КПД — отношение работы к Q₁. Следите, чтобы теплота и работа были выражены в одинаковых единицах.

Разбор задач

Тепловой двигатель получил от нагревателя 500 Дж теплоты и передал холодильнику 300 Дж. Найдём полезную работу и КПД. Сначала определим, сколько энергии осталось после передачи теплоты холодильнику, затем сравним работу с энергией, поступившей от нагревателя.

1. Запишем данные: Q₁ = 500 Дж, Q₂ = 300 Дж.
2. Используем баланс: A = Q₁ − Q₂ = 500 − 300 = 200 Дж.
3. Вычислим КПД: η = A/Q₁ = 200/500 = 0,4 = 40 %.

Ответ: полезная работа равна 200 Дж, КПД равен 40 %. Проверка: работа положительна и меньше Q₁, а КПД находится между 0 и 100 %.

КПД двигателя равен 25 %, а количество теплоты от нагревателя — 8 кДж. Требуется найти работу и теплоту, переданную холодильнику. Прежде чем подставлять КПД в формулу, переведём проценты в долю единицы: 25 % = 0,25.

1. Запишем данные: η = 0,25, Q₁ = 8 кДж.
2. Из η = A/Q₁ выразим работу: A = ηQ₁ = 0,25 · 8 = 2 кДж.
3. По балансу найдём Q₂: Q₂ = Q₁ − A = 8 − 2 = 6 кДж.

Ответ: полезная работа составляет 2 кДж, холодильнику передано 6 кДж. Проверка: 2/8 = 0,25, а сумма работы и переданной теплоты равна полученным 8 кДж.

Двигатель с КПД 20 % использует 0,2 кг топлива с удельной теплотой сгорания 4,6·10⁷ Дж/кг. Сначала нужно определить энергию топлива, поступившую к двигателю; после этого КПД позволит найти работу, а баланс — Q₂. Удельная теплота сгорания показывает, сколько энергии выделяется при сгорании единицы массы топлива.

1. Найдём полученную теплоту: Q₁ = qm = 4,6·10⁷ · 0,2 = 9,2·10⁶ Дж.
2. Переведём КПД в долю единицы: 20 % = 0,20. Тогда A = ηQ₁ = 0,20 · 9,2·10⁶ = 1,84·10⁶ Дж.
3. Определим энергию, отданную холодильнику: Q₂ = Q₁ − A = 9,2·10⁶ − 1,84·10⁶ = 7,36·10⁶ Дж.

Ответ: полезная работа равна 1,84·10⁶ Дж, холодильнику передано 7,36·10⁶ Дж. Проверка: работа составляет 20 % от Q₁, а обе части вместе дают 9,2·10⁶ Дж.

Типичные ошибки

В знаменатель формулы КПД иногда подставляют Q₂ вместо Q₁. Так происходит, когда путают теплоту, полученную от нагревателя, с энергией, отданной холодильнику. Перед вычислением подпишите смысл каждой величины: знаменатель — это Q₁, входная энергия; проверьте, что найденная доля работы сравнивается именно с ней.

Другая ошибка — считать работу равной Q₁ + Q₂. Ученик может сложить все встречающиеся в условии количества теплоты, не учитывая, что Q₂ уже покинуло рабочее тело и не стало работой. Проверка проста: из баланса Q₁ = A + Q₂ следует A = Q₁ − Q₂; при положительном Q₂ работа должна быть меньше Q₁.

Можно получить неверный ответ, записав долю как проценты без умножения на 100 %. Например, 0,4 — это 40 %, а не 0,4 %. Сначала решите, в какой форме нужен ответ, и только затем переведите результат: долю умножают на 100 %, а процент делят на 100 %.

Наконец, иногда считают допустимым КПД больше 100 % или ровно 100 %. Это обычно означает, что перепутаны величины, допущена арифметическая ошибка или неверно переведены единицы; у реального двигателя часть энергии передаётся холодильнику. Проверьте условие 0 < Q₂ < Q₁ и итоговый диапазон 0 < η < 1, то есть от 0 до 100 % без включения границ.

Связь с другими темами

Для понимания КПД нужны закон сохранения энергии, работа, количество теплоты, внутренняя энергия и первый закон термодинамики: они объясняют энергетический баланс двигателя. Тема пригодится при изучении циклов тепловых машин, холодильных установок, двигателя внутреннего сгорания и закона Карно. На практике КПД используют, чтобы сравнивать двигатели и оценивать расход топлива и энергии: при одинаковой полезной работе более эффективный двигатель требует меньше энергии топлива.

Что запомнить

• КПД показывает, какая доля теплоты от нагревателя превращается в полезную работу.
• Полезная работа теплового двигателя равна A = Q₁ − Q₂.
• КПД рассчитывают по формуле η = A/Q₁.
• Эквивалентная формула: η = 1 − Q₂/Q₁.
• КПД выражают долей единицы или в процентах.
• Для реального теплового двигателя 0 < η < 1, или 0 % < η < 100 %.
• Чем меньше доля теплоты, передаваемой холодильнику, тем выше КПД.