3. Пример расчета КПД цикла

Определения и обозначения

Термодинамический цикл — совокупность процессов, после которых рабочее тело возвращается в исходное состояние. Поэтому начальная и конечная точки цикла совпадают. Это позволяет утверждать, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю.

Рабочее тело — газ или другое вещество, совершающее работу в тепловом двигателе. Газ получает теплоту, изменяет давление или объём и передаёт энергию внешнему телу. Именно его состояние описывают на каждом участке цикла.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя — отношение полезной работы за цикл к теплоте, полученной от нагревателя: η = Aц/Q₁. Здесь Aц — работа цикла, а Q₁ — сумма только положительных количеств теплоты. КПД показывает, какая доля подведённой энергии превратилась в полезную работу.

Работа газа за цикл — алгебраическая сумма работ на отдельных участках. На p–V-диаграмме для замкнутого цикла она равна площади фигуры с учётом направления обхода. При расширении работа положительна, а при сжатии — отрицательна.

Как это устроено

Внутренняя энергия является функцией состояния, поэтому её изменение зависит только от начального и конечного состояний. В конце цикла газ приходит в то же состояние, с которого начал движение. Следовательно, ΔUц = 0, хотя на отдельных участках внутренняя энергия может как увеличиваться, так и уменьшаться.

На каждом участке используют первый закон термодинамики: Q = ΔU + A. Сначала определяют изменение температуры и внутренней энергии, затем работу газа и складывают эти величины. Полученное Q показывает, получает газ теплоту на этом участке или отдаёт её.

Работа газа при малом изменении объёма равна pΔV, поэтому на p–V-диаграмме она выражается площадью под графиком процесса. Для замкнутого контура участки, где газ расширяется и сжимается, складываются с разными знаками. Поэтому итоговая работа равна площади внутри контура, а её знак задаётся направлением обхода.

При изохорном процессе объём постоянен, значит, ΔV = 0 и A = 0. Теплота при этом всё равно может изменять внутреннюю энергию газа: Q = ΔU. При изобарном процессе давление постоянно, поэтому работа равна A = pΔV, а полученная теплота определяется уже суммой изменения внутренней энергии и работы.

В знаменатель КПД входит Q₁, то есть теплота, которую двигатель получил от нагревателя. Теплота, отданная холодильнику, не является затраченной энергией нагревателя и потому в Q₁ не включается. Если сложить все количества теплоты с их знаками, получится Qц = Aц, но это не величина, характеризующая энергетические затраты двигателя.

Расчёт работы и теплоты на участках прямоугольного цикла

В таблице использованы обозначения ΔUᵢ, Aᵢ и Qᵢ для соответствующего участка. Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии можно находить по формуле ΔU = 3nRΔT/2, а температуру выражать через уравнение состояния pV = nRT. После заполнения таблицы складывают все Aᵢ для работы цикла и только положительные Qᵢ для Q₁.

Разбор задач

Прямоугольный цикл идеального одноатомного газа

Условие. Газ совершает цикл A(V₁, p₁)→B(V₂, p₁)→C(V₂, p₂)→D(V₁, p₂)→A, где p₂ > p₁ и V₂ > V₁. Требуется выразить работу, подведённую теплоту и КПД через p₁, p₂, V₁ и V₂. Направление, указанное в условии, является обходом против часовой стрелки.

1. На A→B газ расширяется при p₁: A_AB = p₁(V₂ − V₁), Q_AB = 5p₁(V₂ − V₁)/2.
2. На B→C объём постоянен: A_BC = 0, Q_BC = 3V₂(p₂ − p₁)/2.
3. На C→D газ сжимается: A_CD = p₂(V₁ − V₂), а Q_CD = 5p₂(V₁ − V₂)/2. На D→A работа равна нулю, а Q_DA = 3V₁(p₁ − p₂)/2.
4. Суммирование работ даёт Aц = −(p₂ − p₁)(V₂ − V₁). Теплота от нагревателя равна Q₁ = Q_AB + Q_BC, поскольку именно эти два значения положительны.

Ответ. Для цикла в указанном направлении Aц отрицательна, поэтому он не является обычным тепловым двигателем: внешняя сила совершает работу над газом. Если цикл повернуть в обратную сторону, работа станет положительной, а КПД находят по формуле η = Aц/Q₁, заново определив положительные количества теплоты для нового направления.

Расчёт по температурам вершин

Условие. Для одного моля одноатомного идеального газа известны температуры в вершинах цикла и процессы на его участках. Нужно найти работу, изменение внутренней энергии и теплоту на каждом участке, а затем КПД. Численные значения здесь не заданы, поэтому важен общий алгоритм.

1. Для каждого участка вычислите ΔU = 3R(T₂ − T₁)/2.
2. Определите работу: при постоянном объёме A = 0, при постоянном давлении A = p(V₂ − V₁), а для другого процесса используйте соответствующую формулу.
3. Найдите теплоту из Q = ΔU + A и отметьте её знак.
4. Сложите работы для получения Aц, а положительные Q — для получения Q₁. Затем вычислите η = Aц/Q₁.

Ответ. Такой порядок не зависит от формы цикла. Проверка выполняется по равенству Qц = Aц, поскольку для полного цикла ΔUц = 0.

Работа по p–V-диаграмме

Условие. По диаграмме требуется определить направление цикла, работу, теплоту от нагревателя и КПД. Сначала нужно прочитать, в какую сторону соединены вершины, и только после этого считать площадь контура.

1. Если объём сначала увеличивается при меньшем давлении, а сжимается при большем, обход против часовой стрелки и Aц < 0. Обратное направление даёт положительную работу.
2. Для прямоугольника площадь равна (p₂ − p₁)(V₂ − V₁); это модуль работы цикла.
3. Разбейте контур на участки, найдите Q на каждом и сложите только значения Q > 0.
4. Разделите положительную работу двигателя на Q₁ и сравните полученное η с другим циклом: больший КПД означает меньшую долю потерь при той же полезной работе.

Ответ. Диаграмма сразу даёт модуль работы, но не подведённую теплоту. Для КПД обязательно нужны расчёты Q на отдельных участках и правильный знак работы.

Типичные ошибки

Суммировать всю теплоту за цикл. Так делают, потому что формула первого закона действительно использует алгебраическую сумму Q. Но в КПД нужен только приход энергии от нагревателя: проверьте, что в Q₁ вошли лишь положительные значения.

Складывать модули работ. Ошибка возникает, когда сжатие воспринимают как такой же полезный процесс, как расширение. При проверке поставьте знак «+» для расширения и «−» для сжатия, затем сравните результат с направлением контура.

Забывать нулевую работу при изохоре. Изменение давления или температуры иногда ошибочно принимают за работу. Объём не меняется, поэтому A = pΔV = 0, хотя ΔU и Q могут быть ненулевыми.

Искать КПД только по работе. Одной величины Aц недостаточно: одинаковую работу можно получить при разных затратах теплоты. После вычисления работы обязательно найдите Q₁ и только затем применяйте η = Aц/Q₁.

Связь с другими темами

Для расчёта цикла нужны первый закон термодинамики, формулы работы газа и выражения для изменения внутренней энергии. Тема продолжает изучение тепловых двигателей и формулы КПД, связывая их с графическим представлением процессов. Такие расчёты применяются при анализе поршневых двигателей, холодильных машин и энергетических установок.

Что запомнить

• В цикле рабочее тело возвращается в исходное состояние.
• За цикл изменение внутренней энергии равно нулю.
• КПД равен отношению работы цикла к теплоте, полученной от нагревателя.
• Работа цикла на p–V-диаграмме равна площади замкнутой фигуры.
• При расширении работа газа положительна, при сжатии — отрицательна.
• В изохорном процессе работа газа равна нулю.
• В знаменатель КПД входят только положительные количества теплоты.