3. Пример расчёта КПД цикла

Определения и обозначения

Термодинамический цикл — процесс, после которого газ возвращается в исходное состояние. Это значит, что в конце совпадают все параметры газа, описывающие его состояние. Понятие цикла позволяет рассматривать не один отдельный процесс, а полный повторяющийся круг превращений энергии.

Коэффициент полезного действия цикла — отношение полезной работы газа к количеству теплоты, полученной от нагревателя: η = A/Q₁. Здесь η обозначает КПД, A — работу за цикл, Q₁ — подведённую теплоту. Это отношение показывает, какая доля полученной энергии стала полезной работой.

Полезная работа цикла — работа, совершённая газом за один полный цикл. На p–V-диаграмме её величина соответствует площади, ограниченной замкнутой линией цикла. Работа нужна для оценки результата всей последовательности процессов, а не отдельного её участка.

Количество теплоты, полученное и отданное газом, обозначают Q₁ и Q₂ соответственно. Q₁ поступает к газу от нагревателя, Q₂ передаётся газом холодильнику, и A = Q₁ − Q₂. Разделение этих количеств помогает отследить, какая часть подведённой энергии ушла на работу, а какая — к холодильнику.

Как это устроено

В цикле начальное и конечное состояния газа совпадают. Внутренняя энергия — функция состояния: её значение задаётся состоянием газа, а не тем, каким путём он к нему пришёл. Поэтому за цикл изменение внутренней энергии равно нулю, ΔU = 0. По первому началу термодинамики ΔU = Q − A, где Q — суммарная теплота, полученная газом, а A — работа газа; значит, за цикл работа равна суммарной полученной теплоте, то есть A = Q₁ − Q₂.

На каждом участке p–V-диаграммы работу определяют по изменению объёма и давлению. При расширении газ совершает положительную работу, а при сжатии работа газа отрицательна; если объём постоянен, работа равна нулю. Для горизонтального участка, где давление постоянно, A = p(V₂ − V₁). На наклонном участке давление меняется, поэтому работу находят как площадь под соответствующей частью графика или вычисляют подходящим способом для заданного процесса.

В полном цикле отдельные участки могут давать как положительную, так и отрицательную работу. При сложении этих вкладов части площадей, расположенные над и под осью объёмов, учитываются со знаками. В результате остаётся площадь внутри замкнутого контура: это работа за цикл. Если обход идёт по часовой стрелке, газ обычно совершает положительную работу; при обратном обходе работа газа отрицательна, и для цикла требуется работа внешних сил.

Чтобы найти Q₁, нельзя складывать все количества теплоты без разбора. На каждом участке определяют, поступает теплота к газу или уходит от него, используя первое начало термодинамики и знак работы. Положительные значения Q соответствуют получению теплоты, их складывают и относят к Q₁. Участки, где газ отдаёт энергию, в Q₁ не входят: их суммарное количество теплоты обозначают Q₂.

Расчёт КПД удобно выполнять после определения энергетического баланса цикла. Сначала находят работу A — суммированием работ на участках или по площади контура, затем устанавливают Q₁, складывая только подводимую теплоту. После этого вычисляют η = A/Q₁; если нужен процент, результат умножают на 100%. Проверка здравого смысла: для теплового двигателя Q₂ положительно, поэтому A меньше Q₁, а КПД меньше единицы.

Величины, используемые при расчёте КПД цикла

Пользуйся таблицей после того, как определил, на каких участках газ получает и отдаёт теплоту. Сначала найди A по энергетическому балансу, затем подставь работу и Q₁ в формулу КПД. Следи, чтобы в знаменателе стояла именно теплота от нагревателя.

Разбор задач

Задача 1. Газ за цикл получает от нагревателя 600 Дж теплоты и отдаёт холодильнику 400 Дж. Найти работу газа и КПД цикла. Здесь известны обе части энергетического баланса, поэтому сначала можно определить, сколько энергии осталось на работу. Затем эту работу сравнивают с количеством теплоты, полученным от нагревателя.

1. Запишем данные: Q₁ = 600 Дж, Q₂ = 400 Дж. Оба количества теплоты указаны как положительные величины, переданные соответственно газу и холодильнику.
2. Вычислим работу: A = Q₁ − Q₂ = 600 − 400 = 200 Дж. Газ превратил в работу ту часть подведённой энергии, которая не была отдана холодильнику.
3. Найдём КПД: η = A/Q₁ = 200/600 = 1/3 ≈ 0,33. В процентах это около 33%.

Ответ: A = 200 Дж; η ≈ 0,33, или 33%. При проверке видно, что работа меньше полученной теплоты, как и должно быть у теплового двигателя.

Задача 2. Цикл на p–V-диаграмме — прямоугольник с давлениями p₁ = 1 × 10⁵ Па и p₂ = 3 × 10⁵ Па, объёмами V₁ = 1 л и V₂ = 4 л. Обход идёт по часовой стрелке; на участках подвода теплоты газ получает 600 Дж и 300 Дж. Требуется найти работу и КПД. Прямоугольник позволяет определить работу как площадь контура, а заданные количества теплоты — Q₁.

1. Переведём объёмы в кубические метры: V₁ = 0,001 м³, V₂ = 0,004 м³, поэтому ΔV = 0,003 м³. Разность давлений равна Δp = 2 × 10⁵ Па.
2. Вычислим площадь прямоугольного контура: A = Δp × ΔV = 2 × 10⁵ × 0,003 = 600 Дж. Обход по часовой стрелке означает, что работа газа положительна.
3. Сложим только подводимую теплоту: Q₁ = 600 + 300 = 900 Дж. Тогда η = A/Q₁ = 600/900 = 2/3 ≈ 0,67.

Ответ: A = 600 Дж; η ≈ 0,67, или 67%. Теплота, отданная газом на других участках, в сумму Q₁ не включается.

Задача 3. Идеальный газ проходит трёхступенчатый цикл: изохорное нагревание, изобарное расширение и изотермическое сжатие до исходного состояния. Даны молярная теплоёмкость при постоянном объёме Cᵥ, количество вещества ν и температуры в узловых состояниях: T₁ = 300 К, T₂ = 600 К, T₃ = 600 К. На изобарном участке объём увеличивается от V₁ до 2V₁; температура в конце этого участка должна составлять 1200 К, поэтому приведённый набор состояний не замыкает указанный цикл. Проверка согласованности данных — часть решения: без неё нельзя корректно вычислить цикл.

1. Для замкнутого цикла после изотермического сжатия температура должна вернуться к начальной, а изотермический процесс требует постоянной температуры. Следовательно, температура в начале сжатия должна равняться T₁ = 300 К, а не 600 К.
2. Проверим изобарный участок: при постоянном давлении температура пропорциональна объёму. Если объём удваивается, температура возрастает от 600 К до 1200 К, а не остаётся равной 600 К.
3. Поэтому из приведённых данных нельзя определить работу, теплоту и КПД именно такого цикла: значения температуры несовместимы с описанием процессов. После исправления условия нужно найти для каждого участка ΔU = νCᵥΔT, работу газа и Q = ΔU + A, затем сложить работы и только положительные количества теплоты для Q₁.

Ответ: условие задачи противоречиво, численный КПД определить нельзя. Для корректного расчёта нужны согласованные параметры всех состояний и участков цикла.

Типичные ошибки

• В знаменатель КПД включают всю энергию, связанную с теплопередачей, вместо Q₁. Так происходит, когда забывают разделить участки подвода и отвода теплоты; проверь себя, указав знак Q на каждом участке и сложив для Q₁ только положительные значения.

• Считают, что за цикл внутренняя энергия изменилась, потому что газ побывал в разных состояниях. Путают изменение на отдельном участке с изменением за замкнутый процесс; проверка проста: начальное и конечное состояния цикла совпадают, следовательно, ΔU цикла = 0.

• Берут площадь под одним участком графика за работу всего цикла. Такая площадь описывает вклад отдельного процесса, а не сумму работ по замкнутому пути; нужно просуммировать участки со знаками или измерить площадь внутри всего контура.

• Игнорируют направление обхода и используют модуль работы, даже если цикл обратный. Тогда отрицательную работу газа ошибочно принимают за работу двигателя; проверь направление стрелок и знак суммы работ, прежде чем вычислять КПД теплового двигателя.

Связь с другими темами

Для расчёта цикла нужно знать первое начало термодинамики и работу газа, а на p–V-диаграмме — уметь находить площадь под графиком. Также пригодятся свойства внутренней энергии идеального газа и формулы для теплоты в изохорном, изобарном и изотермическом процессах. Эти знания позволяют рассчитать энергию на каждом участке, а затем перейти к общему балансу. Тот же подход используют при изучении тепловых двигателей, цикла Карно и холодильных машин.

Что запомнить

• В цикле газ возвращается в исходное состояние.
• Изменение внутренней энергии за цикл равно нулю.
• Работа за цикл равна разности полученной и отданной теплоты: A = Q₁ − Q₂.
• На p–V-диаграмме работа цикла равна площади замкнутого контура.
• КПД цикла вычисляют по формуле η = A/Q₁.
• Величина КПД всегда меньше единицы, или 100%.
• Для расчёта Q₁ нужно учитывать только участки подвода теплоты к газу.