"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Термодинамический цикл — последовательность изменений состояния газа, после которой он возвращается к исходному состоянию. Циклы описывают работу тепловых двигателей и других устройств, в которых газ многократно нагревается, расширяется, охлаждается и сжимается. Чтобы найти КПД цикла, нужно определить работу газа за полный цикл и теплоту, полученную от нагревателя. Главное при расчёте — учитывать знаки работы и не включать отданную теплоту в знаменатель КПД.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Термодинамический цикл — последовательность процессов, после которой система возвращается в исходное состояние. Например, газ может расшириться, затем охладиться и сжаться до начального объёма и температуры. Циклические процессы нужны для описания работы тепловых двигателей и других устройств, где изменения состояния повторяются.
Работа газа за цикл — сумма работ, совершённых газом на всех участках цикла: Aц = A₁ + A₂ + … . На pV-диаграмме, где по горизонтали отложен объём V, а по вертикали давление p, эта сумма связана с площадью внутри замкнутой линии. Площадь показывает величину работы, а направление обхода помогает определить её знак.
КПД цикла — отношение полезной работы, совершённой газом за цикл, к теплоте, полученной системой от нагревателя: η = Aц / Qн. Здесь Qн — именно количество теплоты, поступившее к газу от нагревателя, а не вся теплота, участвовавшая в процессах. КПД показывает, какая часть этой энергии превратилась в работу.
Сначала по pV-диаграмме нужно проследить цикл по порядку: понять, какие точки соединены и как меняются давление и объём. Горизонтальный участок означает постоянное давление, вертикальный — постоянный объём; наклонный участок рассматривают по изменению координат. Такое чтение графика задаёт последовательность процессов и позволяет определить, где газ расширяется, а где сжимается.
Работа газа связана с изменением объёма: при постоянном давлении A = pΔV, а на общем участке её можно представить как площадь под графиком. При расширении ΔV положительно, поэтому работа газа положительна: газ действует на поршень и передаёт ему энергию. При сжатии ΔV отрицательно, работа газа отрицательна, поскольку энергию газу передают внешние силы.
Для каждого участка применяют первое начало термодинамики в форме Q = ΔU + A, где Q — теплота, переданная газу, ΔU — изменение его внутренней энергии, A — работа газа. Для идеального газа ΔU зависит от изменения температуры, поэтому по начальной и конечной температурам участка можно найти, нагрелся газ или охладился. Затем к этому изменению добавляют работу: положительное Q означает получение теплоты газом, отрицательное — её отдачу.
В конце полного цикла газ имеет те же параметры состояния, что и в начале. Внутренняя энергия является функцией состояния, поэтому её конечное значение совпадает с начальным и суммарное изменение ΔUц равно нулю. По первому началу тогда Qц = Aц: суммарная теплота, полученная газом с учётом отданной, равна работе за цикл.
Чтобы вычислить КПД, сначала находят Q на каждом участке и отмечают положительные значения: это теплота, полученная системой от нагревателя. Их складывают, получая Qн, тогда как отрицательные значения относятся к теплоте, отданной холодильнику. В формулу η = Aц / Qн подставляют работу цикла и только Qн; результат часто переводят в проценты умножением на 100%.
| Участок цикла | Изменение объёма | Работа газа | Изменение внутренней энергии | Количество теплоты |
|---|---|---|---|---|
| Расширение | Увеличивается | Положительная | Определяется изменением температуры | Q = ΔU + A; знак зависит от ΔU и A |
| Сжатие | Уменьшается | Отрицательная | Определяется изменением температуры | Q = ΔU + A; знак зависит от ΔU и A |
| Изохорный процесс | Не меняется | Равна нулю | Определяется изменением температуры | Q = ΔU |
| Полный цикл | Возвращается к начальному значению | Сумма работ участков | Равна нулю | Сумма теплот участков равна работе цикла |
Пользуйся строкой, соответствующей типу участка: сначала установи изменение объёма и знак работы, затем найди изменение внутренней энергии. После этого первое начало термодинамики даёт количество теплоты и его знак. Для полного цикла складывай значения участков, не забывая отдельно собрать положительные Q для определения Qн.
Задача 1. Прямоугольный цикл на pV-диаграмме проходит по вершинам (V₁, p₁), (V₂, p₁), (V₂, p₂), (V₁, p₂) и возвращается в начальную точку. Пусть V₂ > V₁ и p₁ > p₂, а направление обхода такое, что расширение происходит при давлении p₁. Найдём работу на каждом участке и за цикл через площади под графиком.
Ответ: работа на расширении положительна, на сжатии отрицательна, на изохорных участках равна нулю; Aц = (p₁ − p₂)(V₂ − V₁).
Задача 2. Один моль одноатомного идеального газа проходит цикл из трёх участков: изохорное нагревание от T₁ до T₂, изобарное расширение от T₂ до T₃ и изотермическое сжатие при T₃ обратно к начальному объёму. Пусть T₂ > T₁, T₃ > T₂, а начальное и конечное состояния цикла совпадают. Требуется найти изменения внутренней энергии, работу и теплоту на каждом участке в символическом виде.
Ответ: на первых двух участках газ получает теплоту, а на изотермическом сжатии отдаёт её. Знаки и величины проверяются по первому началу; сумма ΔU по циклу равна нулю, поскольку начальное и конечное состояния одинаковы.
Задача 3. Для цикла из первой задачи заданы p₁ = 5 кПа, p₂ = 2 кПа, V₁ = 1 л и V₂ = 4 л. Пусть на расширении газ нагревается, а на верхнем изохорном участке охлаждается до температуры, соответствующей давлению p₂; теплота поступает от нагревателя только при расширении. Найдём КПД, считая газ одноатомным идеальным.
Ответ: работа цикла равна 9 Дж, теплота от нагревателя — 30 Дж, КПД составляет 30%.
Считать работу газа при сжатии положительной — значит перепутать работу газа с работой внешних сил над ним. Ошибку допускают, ориентируясь только на величину площади, не замечая направления изменения объёма. Проверь знак по условию: при сжатии ΔV < 0, значит работа газа отрицательна.
Складывать площади под всеми участками как положительные нельзя: площади показывают модули работ, а не их знаки. При таком подсчёте работа сжатия ошибочно увеличит итог вместо того, чтобы уменьшить его. Для проверки подпиши знак каждой работы отдельно, а затем сложи значения алгебраически.
Полагать, что за цикл изменение внутренней энергии не равно нулю, — значит забыть, что газ вернулся в исходное состояние. Внутренняя энергия идеального газа связана с температурой, а начальная и конечная температуры здесь одинаковы. Проверь результат сравнением конечного и начального состояний: ΔUц = 0.
Подставлять в знаменатель КПД всю теплоту цикла — значит смешивать энергию, полученную от нагревателя, с энергией, отданной холодильнику. Обычно это происходит, когда складывают модули всех Q, не различая их знаки. Проверь каждый участок по первому началу и включай в Qн только положительные количества теплоты, полученные газом.
Для расчёта цикла нужны первое начало термодинамики, формула работы газа и способы нахождения изменения внутренней энергии идеального газа. Эти знания позволяют перейти от графика к вычислениям на каждом участке и определить, получает или отдаёт газ теплоту. Навык расчёта КПД пригодится при изучении тепловых двигателей, холодильных установок и других циклических процессов. В этих устройствах особенно важно различать полезную работу, подвод теплоты и её передачу окружающей среде.
Почему изменение внутренней энергии за цикл равно нулю?
Внутренняя энергия газа определяется его состоянием, а в конце цикла система возвращается в то же состояние, что и в начале. Поэтому разность конечной и начальной внутренней энергии равна нулю. Это верно независимо от того, как именно проходили процессы внутри цикла.
Как по pV-диаграмме определить работу газа за цикл?
Работа на каждом участке связана с площадью под графиком p(V): при расширении она положительна, при сжатии — отрицательна. Работы всех участков складывают с учётом знаков. В результате работа за цикл соответствует площади, ограниченной замкнутой линией цикла, с учётом направления его обхода.
Почему работа при сжатии считается отрицательной?
При сжатии объём газа уменьшается, поэтому ΔV < 0. Работа газа на участке равна pΔV для изобарного процесса и оказывается отрицательной. Это означает, что работу над газом совершает внешняя сила.
Как определить, на каких участках газ получает теплоту?
Для каждого участка применяют первое начало термодинамики: Q = ΔU + A, где A — работа газа. Если вычисленное Q положительно, газ получает теплоту; если отрицательно, отдаёт её. Для разных процессов ΔU и A находят отдельно, а затем определяют знак Q.
Почему в формулу КПД входит теплота, полученная от нагревателя?
Нагреватель передаёт системе энергию, часть которой превращается в полезную работу, а часть может быть отдана холодильнику. КПД показывает, какая доля полученной от нагревателя теплоты превращена в работу. Поэтому в знаменатель входит только теплота, полученная системой, а не вся теплота, участвующая в цикле.
3. Пример расчёта КПД цикла
