2. Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя

Определения и обозначения

Тепловой двигатель — устройство, которое получает энергию от нагревателя, часть её превращает в механическую работу, а остаток передаёт холодильнику. Рабочее тело внутри двигателя периодически проходит ряд процессов и возвращается в исходное состояние. Такое устройство нужно для получения механической работы за счёт внутренней энергии топлива или другого источника теплоты.

Нагреватель — тело или источник, от которого рабочее тело получает за цикл количество теплоты Q₁. Им может быть, например, горячий газ, образовавшийся при сгорании топлива. Величина Q₁ показывает весь энергетический «вход» двигателя и используется в знаменателе формулы КПД.

Холодильник — тело или среда, которой рабочее тело передаёт за цикл количество теплоты Q₂. Это может быть окружающий воздух, вода или специальная охлаждающая система. Холодильник принимает ту часть энергии, которую двигатель не смог превратить в механическую работу.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя — отношение полезной работы A за цикл к теплоте Q₁, полученной от нагревателя: η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁. КПД показывает долю исходной энергии, использованной с пользой. Это безразмерная величина, которую часто записывают в процентах.

Как это устроено

Сначала рабочее тело получает энергию от нагревателя, поэтому за цикл ему передаётся теплота Q₁. Эта энергия увеличивает внутреннюю энергию рабочего тела и создаёт условия для его расширения или другого изменения состояния. Именно такие изменения позволяют двигателю воздействовать на поршень, турбину или иной рабочий механизм.

В процессе работы рабочее тело совершает механическую работу за счёт полученной энергии. После завершения цикла оно возвращается в первоначальное состояние, потому что иначе следующий цикл начинался бы уже из другой точки. Поэтому изменение внутренней энергии за полный цикл равно нулю, и полученная теплота не остаётся в рабочем теле.

По первому закону термодинамики энергия должна сохраниться. Раз изменение внутренней энергии за цикл равно нулю, теплота Q₁ расходуется на работу A и передачу теплоты холодильнику Q₂: Q₁ = A + Q₂. Отсюда полезная работа равна разности A = Q₁ − Q₂.

Превратить всю полученную теплоту в работу нельзя, потому что после рабочего процесса нужно отвести часть энергии и вернуть рабочее тело в исходное состояние. Поэтому холодильник получает положительное количество теплоты Q₂. Чем меньше Q₂ при том же Q₁, тем большая доля энергии становится полезной и тем выше КПД.

Подставляя энергетический баланс в определение КПД, получаем η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁. Значение η можно оставить десятичной дробью или умножить на 100% и записать в процентах. Поскольку Q₂ > 0, для реального теплового двигателя η < 1, то есть КПД меньше 100%.

Величины и соотношения для теплового двигателя

Сначала определите, какая величина известна и какую требуется найти. Затем выберите прямую формулу или выразите неизвестную величину из баланса Q₁ = A + Q₂.

Все количества теплоты и работу подставляйте в одинаковых единицах, например в джоулях или килоджоулях. После вычисления проверьте, что КПД не превышает 1, или 100%.

Разбор задач

Задача 1

За цикл двигатель получил Q₁ = 800 Дж и передал холодильнику Q₂ = 500 Дж. Сначала найдём, какая энергия осталась для полезной работы, а затем сравним эту работу с полученной теплотой.

1. По балансу A = Q₁ − Q₂ = 800 − 500 = 300 Дж.
2. Вычислим КПД: η = A/Q₁ = 300/800 = 0,375.
3. Переведём результат в проценты: η = 0,375 · 100% = 37,5%.

Ответ: A = 300 Дж, η = 37,5%.

Задача 2

КПД двигателя равен 30%, а Q₁ = 2,0 кДж. Процент сначала превратим в десятичную дробь, чтобы использовать его в формуле. Затем по энергетическому балансу найдём энергию, переданную холодильнику.

1. η = 30% = 0,30.
2. Из η = A/Q₁ получаем A = ηQ₁ = 0,30 · 2,0 = 0,60 кДж.
3. Q₂ = Q₁ − A = 2,0 − 0,60 = 1,40 кДж.

Ответ: A = 0,60 кДж, Q₂ = 1,40 кДж.

Задача 3

Двигатель совершает работу A = 450 Дж и передаёт холодильнику Q₂ = 1050 Дж. Чтобы найти полученную теплоту, объединим известные части энергетического баланса. После этого проверим, что найденная доля действительно меньше единицы.

1. Q₁ = A + Q₂ = 450 + 1050 = 1500 Дж.
2. η = A/Q₁ = 450/1500 = 0,30.
3. В процентах η = 0,30 · 100% = 30%, что меньше 100%.

Ответ: Q₁ = 1500 Дж, η = 30%.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Иногда КПД считают как Q₂/Q₁. Так находят долю теплоты, ушедшую холодильнику, а не долю полезной работы. Проверка: в числителе определения КПД должна стоять работа A, либо выражение 1 − Q₂/Q₁.

Ошибка 2. В знаменатель подставляют теплоту Q₂, полученную холодильником. Такая замена меняет смысл величины, ведь КПД относится к энергии, поступившей от нагревателя. Проверьте обозначения: в знаменателе всегда стоит Q₁.

Ошибка 3. Всю теплоту Q₁ принимают за работу двигателя и забывают о холодильнике. Это нарушает баланс энергии, потому что часть теплоты равна Q₂ и не превращается в работу. Запишите перед расчётом равенство Q₁ = A + Q₂.

Ошибка 4. Долю η записывают как проценты без умножения на 100% или получают значение больше 100%. Причина обычно в смешении формы записи или в арифметической ошибке. Сначала оставьте ответ дробью, затем выполните перевод и убедитесь, что η < 1.

Связь с другими темами

Для изучения КПД нужен первый закон термодинамики, выражающий сохранение энергии. Также важно помнить, что теплота и работа измеряются в джоулях. Эти знания позволяют правильно составить баланс двигателя.

Тема связана с превращениями энергии и внутренней энергией. Работа двигателя возникает не из ничего: она получается за счёт энергии, переданной рабочему телу в виде теплоты. Возврат к исходному состоянию объясняет, почему изменение внутренней энергии за цикл равно нулю.

Понятие КПД используется при изучении тепловых машин и холодильных устройств. Оно помогает сравнивать энергетическую эффективность разных приборов. Чем больше полезный результат при одинаковых затратах энергии, тем выше эффективность устройства.

Что запомнить

• КПД показывает, какая доля полученной от нагревателя теплоты превращается в полезную работу.
• За цикл двигатель получает теплоту Q₁ и передаёт холодильнику теплоту Q₂.
• Энергетический баланс двигателя за цикл: Q₁ = A + Q₂.
• КПД теплового двигателя: η = A/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁.
• КПД не имеет единиц измерения; в процентах его выражают умножением на 100%.
• Поскольку часть теплоты передаётся холодильнику, КПД реального теплового двигателя меньше 100%.