2. Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя

Определения и обозначения

Тепловой двигатель — устройство, которое за цикл получает энергию от нагревателя, совершает механическую работу и передаёт часть энергии холодильнику. Цикл — это последовательность процессов, после которой рабочее тело возвращается в исходное состояние. Такое устройство позволяет использовать часть переданной ему энергии для движения механизмов.

Нагреватель — тело с более высокой температурой, от которого двигатель получает количество теплоты Q₁. Буква Q обозначает количество переданной энергии в форме теплоты, а индекс 1 отличает полученную теплоту от той, которую двигатель отдаёт. В расчётах Q₁ показывает, сколько энергии поступило в двигатель за цикл.

Холодильник — тело с более низкой температурой, которому двигатель за цикл отдаёт количество теплоты Q₂. Индекс 2 помогает не перепутать эту энергию с теплотой Q₁, полученной от нагревателя. Q₂ учитывают, чтобы определить, какая часть энергии не пошла на совершение работы.

КПД теплового двигателя — отношение работы A, совершённой за цикл, к количеству теплоты Q₁, полученному от нагревателя: η = A/Q₁. Здесь A — полезная механическая работа, а η — коэффициент полезного действия. Это отношение показывает долю входящей энергии, превращённую в работу, и может записываться десятичной дробью или в процентах.

Как это устроено

Рабочее тело получает теплоту от нагревателя и расширяется, совершая работу. Нагревание увеличивает энергию рабочего тела, поэтому оно может воздействовать на поршень или другой механизм. Затем рабочее тело должно вернуться в исходное состояние, иначе следующий цикл начнётся уже при других условиях. Поэтому работа двигателя представляет собой повторяющийся цикл, а не однократное расширение.

За цикл двигатель получает энергию Q₁, и она распределяется на две части: работу A и теплоту Q₂, переданную холодильнику. Такое распределение следует из закона сохранения энергии: энергия не исчезает, а переходит из одной формы в другую или передаётся другому телу. Поэтому энергетический баланс записывают как Q₁ = A + Q₂. Все величины в этой записи относятся к одному и тому же циклу.

КПД определяют как отношение полезной работы к полученной теплоте: η = A/Q₁. Из баланса следует, что A = Q₁ − Q₂, поэтому формулу можно переписать: η = (Q₁ − Q₂)/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁. Такая запись удобна, когда известна теплота, отданная холодильнику, но работа напрямую не задана. Она также показывает, что КПД зависит от соотношения Q₂ и Q₁.

Двигатель передаёт холодильнику часть энергии, поэтому Q₂ > 0. Если бы вся теплота превращалась в работу, холодильнику не передавалось бы ничего, а цикл реального теплового двигателя не мог бы происходить описанным образом. Значит, работа меньше полученной теплоты, а отношение A/Q₁ меньше единицы. Следовательно, КПД реального двигателя всегда ниже 100%.

КПД показывает, какая доля энергии, полученной от нагревателя, превратилась в полезную работу. Например, η = 0,30 означает, что в работу перешла доля 0,30, то есть 30% поступившей теплоты. Результат можно записать дробью, десятичным числом или процентами, но при вычислениях важно не смешивать эти способы записи. Проценты переводят в доли единицы делением на 100: 30% = 0,30.

Энергетические величины и элементы теплового двигателя

Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти, а затем выберите связанную с ними формулу. Если заданы Q₁ и Q₂, удобно начать с энергетического баланса. Перед вычислениями проверьте, что количества теплоты и работа выражены в одинаковых единицах.

Разбор задач

Двигатель получил от нагревателя 800 Дж теплоты и передал холодильнику 600 Дж. Найдите работу за цикл и КПД. Сначала нужно установить, какая энергия осталась после передачи теплоты холодильнику: именно она пошла на работу. Затем полученную работу сравним с Q₁.

1. Запишем баланс энергии: A = Q₁ − Q₂. В условии Q₁ = 800 Дж, Q₂ = 600 Дж, поэтому A = 800 − 600 = 200 Дж.
2. Вычислим КПД: η = A/Q₁ = 200/800 = 0,25. Переведём долю в проценты: 0,25 × 100% = 25%.

Ответ: работа равна 200 Дж, КПД — 25%. Проверка баланса даёт 800 Дж = 200 Дж + 600 Дж, значит, энергия учтена полностью.

За цикл двигатель совершил работу 150 кДж, получив от нагревателя 500 кДж теплоты. Требуется найти КПД и теплоту, переданную холодильнику. Здесь работа уже известна, поэтому КПД можно вычислить сразу. Для поиска Q₂ используем тот же баланс энергии, что и в предыдущей задаче.

1. Найдём отношение работы к полученной теплоте: η = A/Q₁ = 150/500 = 0,30. В процентах это 30%.
2. Выразим количество теплоты для холодильника из баланса: Q₂ = Q₁ − A. Подставим значения: Q₂ = 500 − 150 = 350 кДж.

Ответ: КПД равен 30%, холодильнику передано 350 кДж теплоты. Проверка: 150 кДж + 350 кДж = 500 кДж, что совпадает с теплотой, полученной от нагревателя.

КПД двигателя равен 30%, а холодильнику за цикл передаётся 350 кДж теплоты. Найдите Q₁ и работу двигателя. В этой задаче известны доля превращённой энергии и доля, ушедшая холодильнику. Сначала выразим Q₂ через Q₁, а затем найдём работу.

1. Переведём проценты в десятичную дробь: η = 0,30. Из формулы η = 1 − Q₂/Q₁ получаем Q₂/Q₁ = 1 − 0,30 = 0,70. Следовательно, Q₁ = Q₂/0,70 = 350/0,70 = 500 кДж.
2. Найдём работу: A = ηQ₁ = 0,30 × 500 = 150 кДж. Единица измерения остаётся килоджоулем, поскольку КПД не имеет единиц.

Ответ: от нагревателя двигатель получил 500 кДж, а его работа равна 150 кДж. Проверим баланс: 150 кДж + 350 кДж = 500 кДж. Проверка подтверждает и найденную работу, и количество полученной теплоты.

Типичные ошибки

Иногда в знаменатель формулы КПД ставят Q₂ вместо Q₁. Так происходит, когда путают полученную энергию с переданной холодильнику; из-за этого вычисляется не доля полезной работы от входящей энергии. Проверяйте смысл величин: в знаменателе должна стоять теплота, полученная от нагревателя, η = A/Q₁.

Другая ошибка — считать работу равной Q₁. Кажется, что вся полученная энергия должна идти на полезное действие, но часть энергии двигатель передаёт холодильнику. Поэтому работа находится как A = Q₁ − Q₂. Самопроверка проста: сумма работы и отданной теплоты должна совпадать с Q₁.

При вычислениях могут забыть перевести проценты в долю единицы. Например, подстановка 30 вместо 0,30 увеличит результат в сто раз. Перед умножением или делением замените процентную запись десятичной: 30% = 30/100 = 0,30. После расчёта можно снова выразить КПД в процентах.

Нельзя считать, что КПД реального двигателя может быть равен 100%. Такое значение означало бы, что A = Q₁ и Q₂ = 0, то есть теплота холодильнику не передаётся. Но двигатель действует циклически и отдаёт часть энергии холодильнику. Проверяйте результат по условию η < 1, или η < 100%.

Связь с другими темами

Для понимания КПД нужны закон сохранения энергии и представление о теплоте и работе как способах передачи энергии. Именно сохранение энергии даёт баланс Q₁ = A + Q₂: поступившая теплота не исчезает, а распределяется между работой и передачей холодильнику. Эти рассуждения связаны с первым законом термодинамики, который описывает изменение и передачу энергии в тепловых процессах. С помощью КПД можно сравнивать тепловые машины, например двигатели внутреннего сгорания и паровые турбины.

Что запомнить

• За цикл двигатель получает теплоту Q₁ от нагревателя.
• Часть теплоты Q₁ превращается в работу A, остальная часть Q₂ передаётся холодильнику.
• Энергетический баланс цикла: Q₁ = A + Q₂.
• КПД теплового двигателя: η = A/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁.
• Для реального теплового двигателя КПД меньше 100%.
• При вычислениях проценты нужно переводить в доли единицы.