3. Изотермический процесс (при постоянной температуре)

Определения и обозначения

Изотермический процесс — изменение состояния данной массы газа при постоянной температуре. Слово «изотермический» указывает именно на неизменность температуры, а не давления или объёма. При таком процессе газ может сжиматься или расширяться, поэтому его давление и объём обычно меняются. Условие постоянства температуры позволяет установить между ними особую зависимость.

Закон Бойля—Мариотта утверждает: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём постоянно, то есть pV = const. Здесь p обозначает давление газа, а V — его объём. Это правило позволяет по известному состоянию газа определить новое давление или объём после изменения условий. Оно действует, только если количество газа и температура не меняются.

Изотерма — график зависимости давления газа от объёма при постоянной температуре. Поскольку p = const/V, при увеличении объёма давление уменьшается, но не на одинаковую величину за каждый равный шаг объёма. Поэтому график имеет форму убывающей гиперболы. Каждой температуре соответствует своя изотерма.

Как это устроено

Состояние идеального газа описывает уравнение pV = νRT. В нём ν — количество вещества, R — постоянная величина, а T — абсолютная температура, измеряемая в кельвинах. Если рассматривается одна и та же масса газа, количество вещества ν не меняется. При постоянной температуре неизменны также R и T, значит, всё произведение νRT имеет постоянное значение.

Из уравнения pV = νRT следует, что при неизменных ν и T произведение pV тоже постоянно: pV = const. Это и есть закон Бойля—Мариотта. Если газ занимает больший объём, давление должно стать меньше, чтобы произведение не изменилось. Например, если объём увеличился вдвое, давление при неизменной температуре уменьшится вдвое.

Чтобы сравнить два состояния газа, записывают p₁V₁ = p₂V₂. Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния, а не разные газы. Если известны три величины, четвёртую находят обычными преобразованиями: например, p₂ = p₁V₁/V₂. Перед подстановкой полезно проверить, что объёмы выражены в одинаковых единицах, а давления — в одной и той же системе.

В координатах p и V каждой точке графика соответствует состояние газа, а при изотермическом процессе все такие точки лежат на одной кривой. Из равенства p = const/V видно, что график убывает: с ростом V давление снижается. Кривая называется гиперболой, потому что давление обратно пропорционально объёму, а не уменьшается на постоянное число при каждом одинаковом изменении объёма. При другой температуре значение νRT будет иным, поэтому получится другая изотерма.

При сжатии в том же количестве газа молекулы оказываются в меньшем объёме. Они чаще сталкиваются со стенками сосуда, и давление возрастает. При расширении молекулы распределяются по большему объёму, удары о стенки становятся реже, и давление падает. Постоянная температура означает, что средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул не меняется, но частота их столкновений со стенками может измениться.

Изотермический процесс: условия и соотношения

Сначала проверь, что речь идёт об одной и той же массе газа и постоянной температуре: без этих условий соотношение может оказаться неприменимым. Затем выбери строку таблицы, которая соответствует вопросу задачи: для перехода между состояниями используй равенство p₁V₁ = p₂V₂. Для графика помни, что с увеличением объёма давление уменьшается.

Разбор задач

Задача 1. Газ при постоянной температуре занимает объём 2 л под давлением 150 кПа. Объём уменьшают до 1,5 л. Требуется найти новое давление. Количество газа не меняется, значит, можно применить закон Бойля—Мариотта.

1. Записываем связь состояний: p₁V₁ = p₂V₂.
2. Выражаем неизвестное давление: p₂ = p₁V₁/V₂.
3. Подставляем данные: p₂ = 150 · 2 / 1,5 = 200 кПа. Объём уменьшился, поэтому рост давления согласуется с физическим смыслом процесса.

Ответ: давление станет равным 200 кПа. Проверка проста: объём уменьшился в 2/1,5 раза, и во столько же раз должно увеличиться давление. Произведение в обоих состояниях равно 300 кПа·л.

Задача 2. При изотермическом расширении объём газа увеличился с 3 л до 5 л, а давление уменьшилось на 80 кПа. Нужно найти оба давления. Обозначим начальное давление p₁, а конечное — p₂. Кроме закона Бойля—Мариотта используем указанную разность давлений.

1. Записываем два условия: 3p₁ = 5p₂ и p₁ − p₂ = 80 кПа.
2. Из второго равенства выражаем p₁: p₁ = p₂ + 80. Подставляем это в первое: 3(p₂ + 80) = 5p₂.
3. Решаем: 3p₂ + 240 = 5p₂, поэтому p₂ = 120 кПа. Тогда p₁ = 120 + 80 = 200 кПа.

Ответ: начальное давление равно 200 кПа, конечное — 120 кПа. При расширении давление действительно уменьшилось. Проверка: 200 · 3 = 120 · 5 = 600 кПа·л.

Задача 3. На графике изотермы отмечены состояния (V₁, p₁) и (V₂, p₂). Известны p₁, V₁ и V₂; требуется определить p₂ и проверить, лежит ли вторая точка на этой изотерме. Сначала вычислим давление по закону, а затем сопоставим расчёт с координатой точки на графике. Достаточно знать, что температура и масса газа для обеих точек одинаковы.

1. Записываем p₁V₁ = p₂V₂ и выражаем искомую величину: p₂ = p₁V₁/V₂.
2. Подставляем заданные значения, предварительно приводя объёмы к одинаковым единицам. Полученное давление — расчётное значение для изотермы.
3. Сравниваем результат с давлением, соответствующим отмеченной точке на графике. Если значения совпадают с учётом точности чтения, точка принадлежит этой изотерме; иначе — не принадлежит.

Ответ: p₂ = p₁V₁/V₂. При проверке учитывай, что значение по графику обычно считывается приблизительно. Чем точнее нанесены координаты и деления, тем надёжнее сравнение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что при постоянной температуре не меняется и давление. Путают температуру с параметрами, которые должны оставаться постоянными, хотя при сжатии объём уменьшается и давление растёт. Проверь себя по формуле pV = const: если изменился V, величина p должна измениться так, чтобы произведение сохранилось.

Вторая ошибка — применять p₁V₁ = p₂V₂, не проверив условия. Равенство используют для одной и той же массы газа при неизменной температуре, но утечка газа или нагрев нарушают эти предпосылки. Перед расчётом выпиши, что известно о количестве газа и температуре, и только после этого выбирай закон.

Третья ошибка — считать p прямо пропорциональным V. Такое рассуждение не подходит к изотерме: давление обратно пропорционально объёму, поэтому рост объёма приводит к снижению давления. Самопроверка: подставь числа в pV и убедись, что произведение не изменилось.

Четвёртая ошибка — смешивать единицы, например подставлять литры в одном состоянии и кубические метры в другом. Из-за этого вычисленный результат может отличаться в тысячу раз, хотя сам ход решения выглядит правильным. Переведи оба объёма к одинаковым единицам и так же согласуй единицы давления; при вычислении отношения объёмов допустимо оставить одинаковые литры.

Связь с другими темами

Для понимания изотермического процесса нужны уравнение состояния идеального газа, понятия давления и объёма, а также абсолютная температура. Закон Бойля—Мариотта — частный случай этого уравнения, когда количество газа и температура постоянны. Его сопоставляют с изобарным процессом, где постоянно давление, и изохорным, где постоянен объём. Эти процессы помогают описывать разные изменения состояния газа и используются при решении задач по термодинамике.

Что запомнить

• При изотермическом процессе температура постоянна.
• Для данной массы газа при постоянной температуре pV = const.
• Для двух состояний одного изотермического процесса p₁V₁ = p₂V₂.
• При увеличении объёма давление уменьшается.
• В координатах p и V изотерма — убывающая гипербола.
• Закон применим при неизменном количестве газа.