3. Изотермический процесс (при постоянной температуре)

Определения и обозначения

Изотермический процесс — изменение состояния данной массы газа при постоянной температуре; условие записывают как T = const. Слово «изотермический» указывает именно на неизменность температуры, а не давления или объёма. Такое обозначение сразу показывает, какие величины могут меняться при переходе газа из одного состояния в другое. Температуру измеряют в кельвинах, если используют уравнение состояния идеального газа.

Закон Бойля — Мариотта утверждает: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём постоянно, то есть pV = const. Здесь p — давление газа, а V — занимаемый им объём. Закон нужен, чтобы связать эти величины и вычислять одну по известной другой. Если сравнивают два состояния, постоянство произведения записывают так: p₁V₁ = p₂V₂.

Изотерма — график зависимости давления газа от объёма при постоянной температуре. В координатах p и V это убывающая гипербола: чем больше объём, тем меньше давление. По точке на графике можно определить сразу пару значений p и V для одного состояния газа. Изотерма также показывает, что для всех её точек произведение pV одно и то же.

Как это устроено

Условие постоянной массы и температуры нужно, чтобы понять, какие изменения описывает закон. Если газ утекает или в сосуд добавляют газ, меняется количество вещества, и связь давления с объёмом становится другой. Если меняется температура, меняется и энергия движения молекул, а вместе с ней при тех же объёме и массе может измениться давление. Поэтому для изотермического процесса фиксируют одну и ту же массу газа и T = const.

Связь можно получить из уравнения состояния идеального газа: pV = νRT. В этой формуле ν — количество вещества, R — постоянная, а T — абсолютная температура. Для данной массы газа ν не меняется, а при изотермическом процессе постоянна и T, поэтому произведение νRT тоже постоянно. Значит, постоянно и pV — это и есть закон Бойля — Мариотта.

При уменьшении объёма давление растёт из-за движения молекул. В меньшем пространстве они чаще достигают стенок сосуда, хотя температура и средняя энергия их движения сохраняются. Давление связано с ударами молекул о стенки: чем чаще такие удары, тем сильнее газ действует на стенки. При расширении молекулы ударяются о каждую часть стенки реже, поэтому давление уменьшается.

Каждая точка изотермы соответствует определённому состоянию газа: её координаты задают давление и объём. Если выбрать любую точку на той же кривой, произведение координат pV будет таким же, как в остальных точках. Поэтому переход вдоль изотермы означает изменение давления и объёма без изменения температуры и массы газа. Изотермы для разных температур соответствуют разным постоянным значениям pV.

Для двух состояний удобно записать p₁V₁ = p₂V₂, где индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния. Чтобы найти неизвестное давление, можно выразить его, например: p₂ = p₁V₁/V₂; объём находят аналогично. Подставляй давление и объём в согласованных единицах: можно использовать кПа и л в обеих частях равенства. Нельзя смешивать, например, паскали с килопаскалями, не выполнив предварительное преобразование.

На изотерме координаты давления и объёма связаны обратно: при уменьшении объёма давление растёт, а при увеличении — падает.

Изотермический процесс данной массы газа

Сначала проверь по таблице, подходит ли условие задачи: количество газа и температура должны быть постоянными. Затем выбери строку с законом и запиши равенство для начального и конечного состояний. По описанию связи давления и объёма можно проверить, разумно ли выглядит ответ.

Разбор задач

Задача 1. Газ при постоянной температуре занимает объём 3 л при давлении 100 кПа. Объём уменьшают до 2 л. Нужно найти новое давление, считая массу газа неизменной.

1. Записываем закон для двух состояний: p₁V₁ = p₂V₂.
2. Выражаем неизвестное давление: p₂ = p₁V₁/V₂.
3. Подставляем данные: p₂ = 100 кПа · 3 л / 2 л = 150 кПа. Литры сокращаются, поэтому результат получен в кПа.

Ответ: давление стало 150 кПа. Оно больше начального, потому что объём уменьшился, а при постоянной температуре p и V изменяются в противоположных направлениях.

Задача 2. Газ при постоянной температуре сжали с 6 л до 2 л, а начальное давление было 120 кПа. Требуется найти конечное давление и определить, во сколько раз оно изменилось.

1. Записываем равенство p₁V₁ = p₂V₂ и выражаем p₂: p₂ = p₁V₁/V₂.
2. Подставляем значения: p₂ = 120 кПа · 6 л / 2 л = 360 кПа.
3. Сравниваем конечное давление с начальным: 360 кПа / 120 кПа = 3. Значит, давление увеличилось втрое; объём, наоборот, уменьшился втрое.

Ответ: конечное давление равно 360 кПа, оно возросло в 3 раза. Такое изменение согласуется с законом: при неизменных массе и температуре уменьшение объёма сопровождается ростом давления.

Задача 3. В цилиндре с подвижным поршнем давление газа при постоянной температуре изменилось с 90 кПа до 150 кПа. Начальный объём равен 5 л. Найдём конечный объём и укажем направление перехода по изотерме.

1. Записываем закон для двух состояний: p₁V₁ = p₂V₂. Выражаем конечный объём: V₂ = p₁V₁/p₂.
2. Подставляем данные: V₂ = 90 кПа · 5 л / 150 кПа = 3 л. Единицы давления сокращаются, и остаются литры.
3. Давление выросло с 90 до 150 кПа, поэтому объём уменьшился с 5 до 3 л. На схеме p–V переход направлен влево и вверх: к меньшему V и большему p.

Ответ: конечный объём равен 3 л. На изотерме нужно показать движение от точки (5 л; 90 кПа) к точке (3 л; 150 кПа).

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять закон Бойля — Мариотта, не проверив постоянство массы и температуры. Иногда запоминают только формулу pV = const и забывают условия, при которых она верна. Перед вычислениями выпиши, что газ не добавляют и не выпускают, а его температура остаётся неизменной. Если хотя бы одно условие не соблюдается, этот закон напрямую применять нельзя.

Вторая ошибка — считать, что увеличение объёма повышает давление. Так рассуждают, перенося на газ бытовое представление о том, что «больше» означает «сильнее». Проверь направление изменения по равенству pV = const: если V растёт, p должно уменьшаться. При сжатии, напротив, давление увеличивается.

Третья ошибка — путать начальные и конечные значения или подставлять несогласованные единицы. Например, можно случайно умножить начальное давление на конечный объём, а затем получить число с неверными единицами. Обозначь состояния индексами 1 и 2 и проверь, что в обеих частях равенства сопоставлены соответствующие p и V. Ещё до вычисления приведи значения к совместимым единицам.

Четвёртая ошибка — изображать изотерму прямой линией. Прямая означала бы линейную зависимость, тогда как здесь произведение pV постоянно, а давление обратно пропорционально объёму. Проверь график по нескольким точкам: при удвоении V давление должно уменьшиться вдвое. Такая проверка показывает, что график — убывающая гипербола.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в изотермическом процессе, нужно знать уравнение состояния идеального газа pV = νRT и понимать, что означают давление, объём, температура и количество вещества. Закон Бойля — Мариотта получается из этого уравнения, когда масса газа и температура постоянны. Поэтому важно отличать абсолютную температуру T от других характеристик состояния и помнить, какие величины зафиксированы в условии задачи.

Изотермический процесс — один из способов описать изменение состояния газа наряду с процессами, где постоянной остаётся другая величина. Навык работы с p, V и графиком изотермы пригодится при их сравнении и решении задач на газовые законы. Он также помогает объяснять наблюдаемое поведение газа в цилиндре с подвижным поршнем.

Что запомнить

• Изотермический процесс проходит при T = const.
• Закон Бойля — Мариотта применим к данной массе газа.
• При постоянной температуре pV = const.
• Для двух состояний газа p₁V₁ = p₂V₂.
• При уменьшении объёма давление увеличивается.
• График зависимости p от V при постоянной температуре — гипербола.