§ 23. Дифракция волн

Определения и обозначения

Дифракция волн — огибание волной препятствий и проникновение в область геометрической тени. Заметной она становится, когда размер препятствия или отверстия сравним с длиной волны. Это позволяет объяснить, почему волны могут распространяться за край преграды.

Принцип Гюйгенса—Френеля представляет каждую точку волнового фронта как источник вторичных волн. Эти волны складываются и интерферируют, формируя результирующую волну. Принцип нужен, чтобы понять происхождение дифракционной картины, а не считать её простым отклонением лучей.

Дифракционная решётка — множество параллельных щелей одинаковой ширины, разделённых непрозрачными промежутками. Расстояние между одинаковыми точками соседних щелей называют периодом решётки и обозначают буквой d. Именно период определяет углы, под которыми возникают главные максимумы.

Главный дифракционный максимум — направление, в котором волны от соседних щелей усиливают друг друга. Его условие: d sin φ = kλ, где d — период решётки, λ — длина волны, φ — угол отклонения, а k — целое число, называемое порядком максимума. При k = 0 получается центральный максимум.

Как это устроено

Если отверстие намного шире длины волны, большая часть волны проходит прямо, а отклонение у краёв занимает очень малую долю общего потока. Поэтому распространение кажется прямолинейным. Когда ширина щели сравнима с λ, волна после щели заметно расходится в стороны и попадает в область, куда по законам геометрической оптики она не должна была попасть.

По принципу Гюйгенса—Френеля разные участки фронта за препятствием становятся источниками вторичных волн. Эти волны распространяются не только вперёд, но и под углами, поэтому достигают области геометрической тени. В одних направлениях их колебания совпадают по фазе и усиливаются, а в других приходят в противофазе и ослабляются.

За одной щелью наблюдаются чередующиеся максимумы и минимумы, потому что вклад разных частей щели зависит от угла наблюдения. Для первого минимума разность хода между крайними лучами должна привести к взаимному гашению, поэтому выполняется условие a sin φ = λ. Более общая запись минимумов имеет вид a sin φ = kλ, где k = 1, 2, 3 и так далее.

У решётки вторичные волны возникают сразу от большого числа щелей. Если разность хода между соседними щелями равна целому числу длин волн, все вклады складываются согласованно, и появляется главный максимум. При увеличении числа щелей усиление становится сильнее, а допустимый диапазон углов для согласованного сложения уменьшается, поэтому максимумы становятся яркими и узкими.

Угол максимума зависит от длины волны: из d sin φ = kλ следует, что при одном и том же d и k большая λ даёт больший угол φ. Поэтому разные цвета белого света отклоняются решёткой по-разному. На экране возникает спектр, а измерив угол и зная период решётки, можно вычислить длину волны.

Дифракция на щели и дифракционной решётке

Сначала определите, идёт ли речь об одной щели, решётке или отдельном препятствии. Затем выберите условие: для минимумов щели используют ширину a, а для главных максимумов решётки — период d. По характеру картины можно проверить выбор формулы: у решётки максимумы обычно узкие и яркие.

Разбор задач

Звуковая волна и дверной проём

Условие: объяснить, почему звук заметно огибает дверной проём, а свет почти не огибает окно такого же размера. Сравнивать нужно не сами виды волн, а длину волны с размером отверстия.

1. Длина звуковой волны в воздухе может составлять десятки сантиметров или несколько метров, то есть быть сопоставимой с шириной дверного проёма.
2. Длина световой волны равна примерно 400–700 нм, а размер окна измеряется сантиметрами или метрами и во много раз больше.
3. Поэтому звук заметно дифрагирует и слышен за дверью, а свет в обычных условиях почти сохраняет прямолинейное направление.

Ответ: звуковая волна огибает дверной проём, потому что его размер сравним с длиной звука; для света окно слишком велико по сравнению с длиной световой волны.

Первый минимум на щели

Условие: λ = 600 нм, a = 0,30 мм. Найти угол φ первого минимума. Для первого минимума k = 1, поэтому применяем a sin φ = λ.

1. Переведём единицы: 600 нм = 6,0 · 10⁻⁷ м, а 0,30 мм = 3,0 · 10⁻⁴ м.
2. Найдём синус угла: sin φ = λ/a = 6,0 · 10⁻⁷ / 3,0 · 10⁻⁴ = 2,0 · 10⁻³.
3. Угол мал, поэтому sin φ ≈ φ в радианах: φ ≈ 2,0 · 10⁻³ рад. В градусах это примерно 0,115°.

Ответ: угол первого минимума φ ≈ 0,002 рад, или 0,115°.

Длина волны по решётке

Условие: период решётки d = 2,0 мкм, максимум первого порядка наблюдается под углом 17°. Требуется найти λ. Используем условие главного максимума d sin φ = kλ.

1. Для первого порядка k = 1, поэтому λ = d sin 17°.
2. Подставим значения: λ = 2,0 мкм · 0,292 ≈ 0,584 мкм.
3. Переведём результат: 0,584 мкм = 584 нм. Значение относится к видимому свету, поэтому результат физически правдоподобен.

Ответ: длина волны света примерно равна 584 нм.

Типичные ошибки

Ошибка: считать дифракцию отдельным видом отражения или преломления. Так происходит, потому что все три явления связаны с изменением направления распространения. Проверка: дифракция объясняется волновым распространением и интерференцией, а не переходом волны между средами и не отражением от поверхности.

Ошибка: утверждать, что дифрагирует только свет. Такую мысль вызывают опыты с оптическими решётками, но дифракция свойственна любым волнам. Проверьте отношение размера препятствия к λ: если они сопоставимы, дифракция может быть заметной и для звука, и для волн на воде.

Ошибка: путать условия a sin φ = kλ и d sin φ = kλ. Первое задаёт минимумы для одной щели, а второе — главные максимумы решётки. Перед вычислением определите объект: a — ширина щели, d — период решётки.

Ошибка: забывать смысл порядка k и периода d. Порядок максимума всегда является целым числом, а период включает ширину щели и промежуток до следующей щели. Проверьте также единицы: d, a и λ должны быть выражены в одних единицах.

Связь с другими темами

Для изучения дифракции нужны длина волны, частота и скорость распространения: они связаны формулой v = λν. Также используется принцип суперпозиции, согласно которому результирующее колебание равно сумме колебаний волн.

Тема опирается на принцип Гюйгенса и интерференцию. При выводе и применении условий максимумов и минимумов используются тригонометрические зависимости, например значение sin φ.

Дифракция применяется для измерения длины волны, анализа спектров и работы оптических приборов. Она также служит одним из главных подтверждений волновой природы света.

Что запомнить

• Дифракция — огибание волнами препятствий и отклонение от прямолинейного распространения.
• Заметная дифракция возникает, когда размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает из-за интерференции вторичных волн.
• Для минимумов на одной щели используют условие a sin φ = kλ.
• Для главных максимумов решётки используют условие d sin φ = kλ.
• Чем больше длина волны, тем сильнее отклонение дифракционных максимумов.
• Дифракционная решётка позволяет определять длину волны и исследовать спектр.