§20. Дифракция волн

Определения и обозначения

Дифракция волн — огибание волнами препятствий и распространение в область геометрической тени. Геометрическая тень — пространство, куда волна при прямолинейном распространении не попала бы. Понятие нужно, чтобы описывать отклонение волн от привычного прямого пути.

Принцип Гюйгенса—Френеля — представление каждой точки волнового фронта источником вторичных волн, которые интерферируют между собой. Волновой фронт — поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе. Этот принцип объясняет, откуда берётся волна за краем щели или препятствия.

Дифракционная картина — распределение максимумов и минимумов интенсивности, возникающее при дифракции. На экране она выглядит как чередующиеся светлые и тёмные полосы или области усиления и ослабления. По картине можно судить о длине волны и размерах отверстия.

Дифракционный максимум — область усиления волны вследствие интерференции вторичных волн. Он появляется там, где колебания приходят почти в одинаковой фазе. В простейшем случае центральный максимум самый широкий и наиболее яркий.

Как это устроено

Волна отклоняется от прямолинейного распространения потому, что после встречи с краем препятствия фронт уже не остаётся плоским. Участки волнового фронта возле края становятся источниками вторичных волн, и эти волны распространяются в стороны. Поэтому часть энергии оказывается за препятствием, в области геометрической тени.

Дифракция особенно заметна, когда размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны. Если отверстие намного шире длины волны, вклад краёв мал по сравнению с основной частью фронта, поэтому пучок почти не расширяется. При узком отверстии краевые вторичные волны определяют распространение всей прошедшей волны.

Принцип Гюйгенса—Френеля связывает дифракцию с появлением вторичных волн у краёв отверстия или препятствия. Каждая точка открытой части фронта посылает волну дальше, а крайние точки дают заметный вклад в боковые направления. Сложение этих волн и формирует новую волновую картину за препятствием.

В одних направлениях вторичные волны приходят к наблюдателю в одинаковой фазе, поэтому их амплитуды складываются и возникает максимум. В других направлениях разность хода близка к половине длины волны или к нечётному числу таких половин, и волны гасят друг друга. Так появляются чередующиеся максимумы и минимумы интенсивности.

Увеличение длины волны усиливает отклонение, а уменьшение отверстия делает картину шире. Для щели первый минимум задаётся условием a sin θ = λ, где a — ширина щели, λ — длина волны, θ — угол к первоначальному направлению. Следовательно, при меньшем a или большем λ угол θ увеличивается.

Дифракция волн при разных условиях

Сначала определите, сравнимы ли размеры отверстия или препятствия с длиной волны. Затем по последнему столбцу оцените, в какую сторону изменится картина при изменении параметров. Для расчётов с узкой щелью используйте условие первого минимума и не забывайте переводить все величины в одинаковые единицы.

Разбор задач

Задача 1

Условие: звуковая волна имеет длину 0,7 м и проходит через дверной проём шириной 0,8 м. Нужно определить, будет ли заметна дифракция.

1. Сравним ширину проёма с длиной волны: 0,8 м и 0,7 м имеют один порядок величины.
2. Так как размер отверстия близок к длине волны, боковые вторичные волны дают существенный вклад.
3. Следовательно, звук после проёма будет распространяться не только вперёд, но и в стороны.

Ответ: дифракция будет заметна; звук сможет хорошо огибать дверной проём и попадать в область геометрической тени.

Задача 2

Условие: ширина щели a = 0,20 мм, длина волны света λ = 600 нм. Найдём угол первого минимума.

1. Переведём ширину щели: 0,20 мм = 2,0 · 10⁻⁴ м, а 600 нм = 6,0 · 10⁻⁷ м.
2. Используем условие a sin θ = λ, поэтому sin θ = λ/a = 6,0 · 10⁻⁷ / 2,0 · 10⁻⁴ = 3,0 · 10⁻³.
3. Для малого угла sin θ ≈ θ в радианах, значит θ ≈ 0,003 рад. Переведём в градусы: θ ≈ 0,003 · 57,3° ≈ 0,172°.

Ответ: угол первого минимума примерно равен 0,17°.

Задача 3

Условие: угол первого минимума равен 0,30°, длина волны 500 нм. Определим ширину щели и выразим ширину центрального максимума через расстояние L до экрана.

1. Из условия a sin θ = λ получаем a = λ/sin θ.
2. Подставим значения: λ = 5,0 · 10⁻⁷ м, sin 0,30° ≈ 0,00524. Тогда a ≈ 5,0 · 10⁻⁷ / 0,00524 ≈ 9,5 · 10⁻⁵ м, то есть около 0,095 мм.
3. Границы центрального максимума соответствуют углам ±θ. На экране его ширина равна 2L tg θ, а при малом угле примерно 2Lθ. Так как θ ≈ 0,00524 рад, ширина получается примерно 0,0105L.

Ответ: ширина щели около 0,095 мм, а центральный максимум на экране с расстоянием L имеет ширину примерно 0,0105L. Численное значение размера картины можно получить после подстановки заданного расстояния до экрана.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что дифракция бывает только у света. Её допускают из-за частого упоминания оптических опытов, но явление свойственно любым волнам. Проверка проста: сравните длину волны звука или воды с размером препятствия.

Ошибка 2. Утверждать, что дифракция заметна у отверстия любого размера. Если отверстие значительно больше длины волны, волна почти не расширяется. Проверьте отношение размера отверстия к λ, а не только наличие края.

Ошибка 3. Путать дифракцию с отражением или преломлением. При отражении волна возвращается от поверхности, при преломлении меняет направление на границе сред, а при дифракции огибает край и проникает в область тени. Определите, есть ли за препятствием боковое распространение волны.

Ошибка 4. Забывать, что узкая щель увеличивает расхождение. Иногда ширину щели ошибочно связывают с шириной пучка в том же направлении. Проверьте формулу sin θ = λ/a: при уменьшении a угол θ возрастает.

Связь с другими темами

Для изучения дифракции нужны понятия длины волны, частоты, скорости распространения и принципа суперпозиции. Они позволяют сравнивать размер препятствия с λ и понимать, как складываются колебания.

Дифракция непосредственно связана с интерференцией и принципом Гюйгенса. Интерференция объясняет чередование максимумов и минимумов, а принцип Гюйгенса помогает представить образование вторичных волн.

Явление используется при изучении дифракционной решётки и спектральных приборов. Оно также задаёт предел разрешения оптических систем: слишком близкие детали могут сливаться из-за дифракционного расширения волн.

Что запомнить

• Дифракция — огибание волной препятствий и распространение в область геометрической тени.
• Дифракция заметна, если размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает из-за интерференции вторичных волн.
• Узкая щель вызывает более широкое расхождение волны.
• При увеличении длины волны дифракция становится сильнее.
• Для первого минимума на щели используется условие a sin θ = λ.
• Дифракция наблюдается у механических, звуковых и световых волн.