§ 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение

Определения и обозначения

Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Она нужна, чтобы указывать положение тела и описывать, как оно меняется со временем. Без выбранного ориентира слова «движется» или «находится здесь» не дают однозначного описания.

Траектория — линия, которую описывает тело при движении относительно выбранной системы отсчёта. Она помогает представить форму движения: например, определить, движется ли тело по прямой или по кривой. Одна и та же траектория не обязательно будет выглядеть одинаково для разных наблюдателей.

Путь s — длина участка траектории, пройденного телом за рассматриваемое время. Это скалярная величина: для её задания достаточно числа и единицы измерения, например 300 м. Путь показывает, сколько траектории тело прошло, но не указывает направление движения.

Перемещение Δr, или s⃗, — вектор, проведённый из начального положения тела в конечное. Вектор имеет и длину, и направление, поэтому сообщает, где тело оказалось относительно старта. Для перемещения важны начальная и конечная точки, а не то, каким маршрутом тело двигалось между ними.

Как это устроено

Чтобы описать движение, сначала выбирают тело отсчёта, например Землю, вагон или движущуюся платформу. Затем задают координатную систему относительно этого тела и используют часы, чтобы связывать положение с моментом времени. Это необходимо потому, что положение не существует «само по себе»: оно задаётся относительно ориентира. А без времени нельзя отличить покой от движения — нужно сравнить положения в разные моменты.

Траектория зависит от выбранной системы отсчёта, потому что разные наблюдатели по-разному задают положение тела. Например, пассажир, идущий по вагону, относительно вагона движется по прямой; наблюдатель на земле учитывает ещё и движение самого вагона. Поэтому линия, по которой проходит тело, для этих наблюдателей может оказаться разной. При описании траектории всегда нужно помнить, относительно чего её рассматривают.

Путь находят как длину именно той части траектории, которую тело прошло за заданный промежуток времени. Если маршрут состоит из нескольких участков, их длины складывают, даже если тело меняло направление или возвращалось назад. Путь не уменьшается: уже пройденную часть нельзя вычесть из общей длины. Это скалярная величина, поэтому направление участков при сложении пути не учитывают.

Перемещение определяется начальным и конечным положениями, потому что это вектор, соединяющий эти точки. Если изменить форму маршрута, но оставить те же начало и конец, перемещение останется прежним. Его направление всегда указывает от начального положения к конечному. Благодаря этому перемещение показывает итоговое изменение положения тела, а не всю историю его движения.

На замкнутом маршруте начальная и конечная точки совпадают, поэтому вектор перемещения равен нулю. Путь при этом может быть большим: тело прошло расстояние по всей траектории, прежде чем вернуться. В общем случае модуль перемещения не превышает путь, потому что прямая между двумя точками не длиннее любого маршрута между ними. Равенство возможно, если тело прошло по прямой и не меняло направление.

Величины и понятия, описывающие движение

Используй таблицу, чтобы сначала определить, что именно требуется найти: линию движения, её длину или изменение положения. Затем проверь, зависит ли нужная величина от всего маршрута или только от его начальной и конечной точек. Система отсчёта нужна прежде, чем определять остальные характеристики движения.

Разбор задач

Пешеход прошёл 300 м по прямой улице. Указать, что можно считать системой отсчёта, и определить путь.

Решение. Нужно отделить выбор ориентира от измерения пройденной длины. Для описания положения пешехода можно взять Землю, а координаты связать с улицей и отсчитывать время часами. Условие сообщает, что пройденный участок прямой имеет длину 300 м.

1. Выбираем тело отсчёта — Землю, например поверхность улицы. Связываем с ней координатную ось вдоль улицы и часы, получая систему отсчёта.
2. Путь — длина пройденной части траектории. По условию пешеход прошёл 300 м, поэтому s = 300 м.

Ответ: система отсчёта может состоять из Земли как тела отсчёта, координатной оси вдоль улицы и часов; путь равен 300 м. Отдельное указание конечного положения не требуется, чтобы найти путь, ведь его длина уже дана в условии.

Ученик прошёл 400 м на восток, затем 300 м на запад. Найти путь и модуль перемещения.

Решение. Путь учитывает оба участка, поэтому складываем их длины. Для перемещения важно, насколько изменилось положение ученика относительно старта. Поскольку он сначала шёл на восток, а затем повернул обратно, конечная точка находится между стартом и точкой разворота.

1. Складываем длины участков: s = 400 м + 300 м = 700 м. Это весь маршрут, независимо от смены направления.
2. Вычитаем обратный участок из пути на восток: 400 м − 300 м = 100 м. Ученик оказался на 100 м восточнее начальной точки, значит модуль перемещения равен 100 м.

Ответ: путь — 700 м, модуль перемещения — 100 м. Разные значения получились потому, что путь учитывает пройденные туда и обратно участки, а перемещение показывает только итоговый сдвиг.

Тело совершило один полный круг по дорожке радиусом 20 м. Найти путь и перемещение.

Решение. После полного круга тело оказывается в исходной точке, поэтому перемещение можно определить сразу. Путь равен длине окружности, по которой оно прошло. Радиус дорожки равен 20 м, а длина окружности вычисляется по формуле 2πr.

1. Подставляем радиус в формулу длины окружности: s = 2πr = 2π · 20 м = 40π м ≈ 126 м. Это путь за один полный круг.
2. Начальное и конечное положения совпадают. Вектор из этой точки в неё же имеет нулевую длину, поэтому перемещение равно нулю.

Ответ: путь равен 40π м, или примерно 126 м; перемещение равно нулю. Этот пример показывает, почему нельзя определять путь только по конечному положению тела.

Типичные ошибки

Считать системой отсчёта только тело отсчёта — значит оставить описание неполным. Так путаются, потому что тело служит главным ориентиром, но одного ориентира недостаточно для задания координат и времени. Проверь себя: можешь ли ты по описанию указать координаты тела и момент наблюдения? Если нет, добавь координатную систему и часы.

Называть траекторию путём — значит смешивать линию и её длину. Ошибку допускают, потому что обе величины связаны с движением по одному маршруту. Проверь себя: если ответ можно измерить в метрах, это длина пройденного пути; траектория же описывает форму линии движения.

Считать путь и модуль перемещения одинаковыми неверно для большинства маршрутов со сменой направления или поворотами. Иногда их значения совпадают, если тело движется по прямой и не разворачивается, поэтому этот частный случай ошибочно принимают за общее правило. Проверь себя: сравни длину всего маршрута с расстоянием по прямой между началом и концом.

Полагать, что при возвращении в исходную точку путь равен нулю, — значит ориентироваться только на конечное положение. Такое рассуждение игнорирует дорогу, которую тело уже прошло. Проверь себя: если тело двигалось, но начало и конец совпали, нулевым будет перемещение, а путь нужно найти по длине пройденной траектории.

Связь с другими темами

Для работы с системой отсчёта нужны представления о координатах, векторах и измерении времени. Координаты описывают положение, вектор помогает задать перемещение, а часы позволяют сравнивать положения в разные моменты. Эти понятия станут основой для изучения скорости, ускорения и законов движения: скорость связывает перемещение или путь со временем. Различие пути и перемещения пригодится при решении задач как о прямолинейном, так и о криволинейном движении.

Что запомнить

• Движение описывают относительно выбранной системы отсчёта.
• Система отсчёта включает тело отсчёта, координатную систему и часы.
• Траектория — линия движения тела.
• Путь — длина пройденного участка траектории.
• Перемещение — вектор из начального положения в конечное.
• Модуль перемещения не больше пути.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю.