§ 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение

Определения и обозначения

Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы, относительно которых описывают движение. Телом отсчёта может быть, например, Земля, вагон или дорога. Выбор системы отсчёта нужен, чтобы задавать положение тела и сравнивать моменты времени.

Траектория — линия, которую описывает движущееся тело относительно выбранной системы отсчёта. Она может быть прямой, окружностью или более сложной кривой. По траектории можно понять, каким был маршрут тела.

Путь — длина участка траектории, пройденного телом. Путь обозначают буквой s; это скалярная величина, то есть для её задания достаточно числа и единицы измерения. Путь показывает, сколько всего длины тело прошло по своему маршруту.

Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения тела. Это векторная величина, поэтому для неё важны и числовое значение, и направление; обычно перемещение обозначают вектором. Оно показывает не длину маршрута, а изменение положения тела.

Как это устроено

Нельзя описать движение само по себе, потому что положение тела сравнивают с положением других тел. Например, пассажир сидит неподвижно относительно вагона, но движется относительно дороги. Поэтому сначала выбирают тело отсчёта, затем связывают с ним координаты и устанавливают часы, чтобы отмечать последовательность событий.

Положение тела задают координатами: на прямой достаточно одной координаты x, на плоскости нужны две, а в пространстве — три. Координаты показывают, где тело находится относительно начала отсчёта и выбранных направлений. При смене системы отсчёта меняются координаты, а вместе с ними могут измениться вид траектории и величина перемещения.

Траектория и путь связаны, но это не одно и то же. Траектория является геометрической линией движения, а путь получают, измеряя длину пройденной части этой линии. Например, один и тот же маршрут можно изобразить кривой линией, а его путь выразить числом в метрах.

Перемещение находят по начальной и конечной точкам, не учитывая промежуточные повороты. На прямой его координата равна разности конечной и начальной координат: Δx = x₂ − x₁. Стрелку перемещения направляют от начального положения к конечному, поэтому при движении в отрицательную сторону координата перемещения будет отрицательной.

Путь не бывает отрицательным, поскольку это длина. Перемещение может быть нулевым, если тело закончил движение там же, где начало его движение. При любом маршруте длина всего маршрута не меньше кратчайшего соединения его начала и конца, поэтому s ≥ |перемещение|; равенство выполняется при прямолинейном движении без изменения направления.

Сравнение пути и перемещения

Сначала определите, спрашивается ли длина маршрута или изменение положения тела. Для пути сложите длины всех участков, а для перемещения соедините начальную и конечную точки с учётом направления. Если тело двигалось по прямой без разворота, путь равен модулю перемещения.

Разбор задач

Задача 1

Условие: тело переместилось по прямой из точки с координатой x₁ = 2 м в точку x₂ = 7 м. Найдём путь и перемещение. Движение происходит в одном направлении, поэтому решение можно выполнить по разности координат.

1. Определим координату перемещения: Δx = x₂ − x₁ = 7 м − 2 м = 5 м.
2. Так как тело не меняло направление, длина пройденного участка равна модулю перемещения: s = |Δx| = 5 м.

Ответ: перемещение равно 5 м в положительном направлении оси, путь равен 5 м. Здесь путь и модуль перемещения совпали, потому что траектория была прямой, а направление движения не менялось.

Задача 2

Условие: пешеход прошёл по прямой от точки x = 0 м до x = 3 м, а затем вернулся в точку x = 1 м. Нужно различить длину всего маршрута и изменение положения. Возвращение означает, что один из участков надо учитывать отдельно.

1. Первый участок имеет длину 3 м: от 0 м до 3 м.
2. Длина обратного участка равна 3 м − 1 м = 2 м.
3. Путь: s = 3 м + 2 м = 5 м.
4. Перемещение: Δx = 1 м − 0 м = 1 м, направлено в положительную сторону оси.

Ответ: путь равен 5 м, перемещение равно 1 м в положительном направлении. Разница появилась из-за того, что путь учитывает возвращение, а перемещение сравнивает только начало и конец.

Задача 3

Условие: тело прошло 3 м на восток, затем 4 м на север и 3 м на запад. Найдём путь и модуль перемещения. Удобно представить движение на координатной плоскости и сложить векторы по направлениям.

1. Путь равен сумме всех участков: s = 3 м + 4 м + 3 м = 10 м.
2. Два горизонтальных перемещения взаимно компенсируются: 3 м на восток и 3 м на запад.
3. Тело оказалось на 4 м севернее начальной точки, поэтому результирующее перемещение направлено на север.

Ответ: путь равен 10 м, модуль перемещения равен 4 м, направление — на север. Вектор перемещения изображают стрелкой от начальной точки к конечной, то есть вертикально вверх на схеме.

Типичные ошибки

Ошибка — считать путь равным перемещению в любой ситуации. Так делают, потому что при первом знакомстве часто решают задачи о прямом движении в одном направлении. Проверьте, были ли повороты или развороты: если да, сначала сложите все участки пути.

Ошибка — находить перемещение как сумму всех пройденных участков. Такое действие описывает путь, а не изменение положения тела. Для проверки отметьте начальную и конечную точки и проведите стрелку только между ними.

Ошибка — забывать направление перемещения и записывать только число. Перемещение является вектором, поэтому у него есть направление, а на координатной прямой ещё и знак. Проверьте, указано ли, куда направлена стрелка или какой знак имеет Δx.

Ошибка — описывать движение без выбора системы отсчёта. Координаты и даже вид траектории могут измениться при смене тела отсчёта, поэтому один наблюдатель может считать тело покоящимся, а другой — движущимся. Перед решением назовите тело отсчёта и направление осей.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координатная прямая и система координат, представления о положительном и отрицательном направлениях, а также единицы длины и времени. Понятия пути и перемещения станут основой для изучения скорости, ускорения и законов Ньютона. Они также используются при чтении графиков движения и решении задач о движении по прямой и плоскости.

Что запомнить

• Движение описывают относительно выбранной системы отсчёта.
• Система отсчёта включает тело отсчёта, систему координат и часы.
• Траектория — линия движения тела.
• Путь — длина пройденного участка траектории.
• Перемещение — вектор от начального положения к конечному.
• Путь не меньше модуля перемещения.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю, а путь может быть ненулевым.