§ 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение

Определения и обозначения

Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени, например часы. Тело отсчёта выбирают условно: им может быть Земля, вагон или другое тело. Такая система нужна, чтобы однозначно описывать положение и движение объекта.

Траектория — линия, вдоль которой движется тело. Она может быть прямой или кривой, а её вид зависит от выбранной системы отсчёта. Поэтому, прежде чем изображать движение, нужно решить, относительно какого тела его рассматривают.

Путь — длина участка траектории, который тело прошло за заданное время; обычно его обозначают s. Путь является скалярной величиной: для его задания достаточно числа и единицы измерения, направления у него нет. Он показывает, сколько именно линии движения пройдено.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с конечным; его часто обозначают Δr. Вектор имеет не только модуль, но и направление. В отличие от пути, перемещение не описывает длину всего маршрута: оно указывает, как изменилось положение тела.

Как это устроено

Движение описывают относительно выбранного тела отсчёта, потому что одно и то же тело может одновременно покоиться относительно одного объекта и двигаться относительно другого. Например, пассажир сидит на месте относительно вагона, но перемещается относительно земли. При смене системы отсчёта меняются координаты и описание движения, поэтому указание системы — часть условия задачи.

Чтобы проследить движение, задают систему координат и отмечают показания часов. Координаты показывают, где находится тело, а время позволяет установить, когда оно там находилось. Сопоставляя положение с моментом времени, можно описать последовательность состояний тела и понять, как оно двигалось.

Если отметить положения тела в разные моменты и соединить их в порядке движения, получится траектория. Её отдельный участок соответствует движению за выбранное время. Длина этого участка и есть путь: при подсчёте нужно учитывать все пройденные части маршрута, а не только расстояние между его концами.

Перемещение зависит только от начальной и конечной точек, потому что именно их соединяет соответствующий вектор. Если разные маршруты начинаются и заканчиваются в одних и тех же местах, перемещения у них одинаковы, хотя пути могут различаться. Поэтому для пути важно всё движение, а для перемещения достаточно сравнить два положения.

Прямая между началом и концом маршрута не длиннее самого маршрута, поэтому путь не меньше модуля перемещения. Это соотношение сохраняется при любом изгибе траектории. Если тело вернулось в исходную точку, концы вектора совпадают и перемещение равно нулю, но пройденная длина остаётся ненулевой.

Сравнение пути и перемещения

Сначала определите, спрашивают ли в задаче длину маршрута или изменение положения: это подскажет, какую величину искать. Для пути складывайте длины участков, а для перемещения учитывайте направления. Проверка s ≥ |Δr| помогает заметить ошибку в вычислениях.

Разбор задач

Пешеход прошёл 300 м по прямой от дома до магазина. Найдите путь и модуль перемещения.

1. Путь равен длине всего пройденного участка: s = 300 м.
2. Движение шло по прямой и без изменения направления, значит расстояние между начальной и конечной точками совпадает с длиной маршрута.
3. Следовательно, модуль перемещения также равен 300 м.

Ответ: путь — 300 м, модуль перемещения — 300 м. Равенство получилось потому, что пешеход не менял направление и не возвращался назад. При движении по более сложному маршруту эти значения могли бы различаться.

Тело прошло 3 м на восток, затем 4 м на север. Найдите путь и модуль перемещения.

1. Для пути складываем длины обоих участков: s = 3 м + 4 м = 7 м.
2. Направления участков взаимно перпендикулярны, поэтому перемещение образует гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 3 м и 4 м.
3. По теореме Пифагора модуль перемещения равен √(3² + 4²) м = √25 м = 5 м.

Ответ: путь — 7 м, модуль перемещения — 5 м. Складывать длины участков для перемещения нельзя: движение на север и на восток направлено по-разному. Прямое расстояние между начальной и конечной точками короче пройденного ломаного маршрута.

Бегун пробежал круг длиной 400 м и остановился в точке старта. Определите путь и перемещение.

1. Бегун прошёл весь круг, поэтому длина его маршрута, то есть путь, равна 400 м.
2. Для перемещения сравним начальное и конечное положения: обе точки совпадают, так как бегун финишировал у старта.
3. Вектор перемещения в таком случае нулевой, и его модуль равен 0 м.

Ответ: путь — 400 м, перемещение равно нулю. Чтобы найти путь, мы учли всю окружность, а для перемещения — только совпадение начальной и конечной точек. Этот пример показывает, почему путь не следует отождествлять с перемещением.

Типичные ошибки

Ошибка — описывать движение, не указав систему отсчёта. Так поступают, когда считают положение тела абсолютным, хотя оно сравнивается с окружающими объектами. Проверьте себя: назовите тело отсчёта, например Землю или вагон; без него описание может быть неоднозначным.

Путь иногда называют перемещением, потому что обе величины относятся к движению и измеряются в единицах длины. Но путь — длина маршрута, а перемещение — вектор между его концами. Проверьте ответ: если в нём нет направления или не учитывается начальная и конечная точки, вероятно, речь идёт о пути.

При поиске перемещения ошибочно складывать длины всех участков, как для нахождения пути. Это происходит, когда не учитывают направления движения. Нарисуйте участки с направлениями и соедините начало с концом маршрута: нужная прямая и есть вектор перемещения.

При возвращении в исходную точку некоторые считают, что и путь равен нулю. Путают отсутствие изменения положения с отсутствием движения. Проверьте себя: путь равен нулю только если тело не прошло никакого участка, а после полного круга путь положителен, хотя перемещение нулевое.

Связь с другими темами

Для работы с системой отсчёта нужно уметь задавать положение тела координатами и пользоваться часами для измерения времени. Координаты отвечают на вопрос, где находится тело, а часы помогают установить момент наблюдения. Без этих навыков нельзя последовательно описать движение.

Путь и перемещение пригодятся при изучении скорости, ускорения и законов движения. Скорость связывает изменение положения или пройденный путь со временем, а дальнейшие характеристики движения описывают, как меняется скорость. Поэтому различать путь и перемещение важно уже при решении первых задач механики.

Что запомнить

• Движение и положение тела описывают относительно выбранной системы отсчёта.
• Система отсчёта включает тело отсчёта, систему координат и часы.
• Траектория — линия, вдоль которой движется тело.
• Путь — длина пройденного участка траектории; это скалярная величина.
• Перемещение — вектор от начального положения тела к конечному.
• Путь не меньше модуля перемещения.
• Если тело вернулось в исходную точку, его перемещение равно нулю, но путь — нет.