§ 1. Система отсчёта, траектория, путь и перемещение

Определения и обозначения

Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Тело отсчёта выбирают, чтобы указать, относительно чего описывается движение; координаты задают положение, а часы позволяют отмечать время. Без всех трёх составляющих нельзя полно описать, где находится тело и как его положение меняется со временем.

Траектория — линия, по которой движется тело. Её можно представить как след всех последовательных положений тела за время движения. Траектория помогает увидеть форму движения, но её вид зависит от выбранной системы отсчёта.

Путь — длина участка траектории, пройденного телом за выбранный промежуток времени; его обычно обозначают s. Путь показывает общую длину маршрута и является скалярной величиной, то есть не имеет направления. Он не бывает отрицательным.

Перемещение — вектор, проведённый из начального положения тела в конечное; его обозначают Δr или вектором перемещения. Оно показывает, насколько и в каком направлении изменилось положение тела. В отличие от пути, перемещение не описывает весь маршрут, а соединяет только его начало и конец.

Как это устроено

Слова «движется» и «покоится» имеют смысл только по отношению к выбранному телу отсчёта. Чтобы понять причину этого, сравним положения тела и наблюдателя: если положение не меняется относительно наблюдателя, тело покоится относительно него. Но относительно другого объекта положение может меняться, поэтому то же тело будет двигаться. Например, пассажир не смещается относительно сиденья, но перемещается вместе с автобусом относительно дороги.

Одного тела отсчёта недостаточно, если нужно точно описать положение. Координатная система позволяет записать его числами, например координатами x и y, а часы показывают, к какому моменту эти координаты относятся. Так можно сравнивать положение тела в разные моменты и прослеживать его движение. Вместе тело отсчёта, координаты и часы образуют систему отсчёта, нужную для описания движения.

Траекторию получают, прослеживая, какие положения тело занимало одно за другим во время движения. Соединив эти положения, мы представляем линию маршрута. Однако наблюдатели, движущиеся по-разному, могут видеть разные последовательности положений одного тела. Например, предмет, падающий в движущемся автобусе, относительно автобуса движется вниз, а относительно дороги — ещё и вперёд вместе с автобусом; поэтому и вид траектории зависит от системы отсчёта.

Путь находят по всему участку траектории, который тело прошло за выбранное время: длины отдельных частей маршрута складывают. Перемещение определяют иначе — находят начальное и конечное положения и проводят вектор от первого ко второму. Путь неотрицателен, потому что длина не может быть отрицательной, а перемещение имеет направление, задаваемое его вектором. Поэтому для перемещения важно не только насколько изменилось положение, но и куда.

Если тело прошло замкнутую траекторию и вернулось в начальную точку, начальное и конечное положения совпали. Вектор между ними равен нулю, так что перемещение равно нулю, хотя тело могло пройти большой путь. Модуль перемещения меньше пути, если маршрут не совпадает с прямым отрезком между его концами, например при поворотах или возвращении назад. Путь равен модулю перемещения только при движении по прямой в одном направлении.

Система отсчёта и характеристики движения

Сначала определите, что именно требуется найти: описание положения, линию движения, длину маршрута или изменение положения. Для пути учитывайте все пройденные участки, а для перемещения сравнивайте только начальную и конечную точки. Если меняется система отсчёта, траектория и описание движения могут стать другими.

Разбор задач

Задача 1. Пассажир сидит в движущемся автобусе. Нужно указать, покоится он или движется относительно автобуса и относительно дороги. Сравним, меняется ли положение пассажира относительно каждого тела отсчёта. Именно выбор тела, с которым сравнивают положение, определяет ответ.

1. Относительно автобуса положение пассажира не меняется: он остаётся на одном месте сиденья.
2. Значит, относительно автобуса пассажир покоится.
3. Автобус движется относительно дороги, и пассажир перемещается вместе с ним. Поэтому его положение относительно дороги меняется.

Ответ: относительно автобуса пассажир покоится, относительно дороги движется. Если бы автобус остановился, ответ относительно дороги изменился бы, а относительно автобуса пассажир по-прежнему оставался бы в покое.

Задача 2. Тело прошло 3 м на восток, затем 4 м на север. Найдём путь и модуль перемещения. Поскольку направления участков перпендикулярны, маршрут образует две стороны прямоугольного треугольника, а перемещение соответствует его гипотенузе.

1. Путь — сумма длин обоих участков: s = 3 м + 4 м = 7 м.
2. По теореме Пифагора квадрат модуля перемещения равен сумме квадратов катетов: |Δr|² = 3² + 4².
3. Вычисляем: |Δr| = √(9 + 16) м = 5 м.

Ответ: путь равен 7 м, модуль перемещения — 5 м. Сам вектор перемещения направлен на северо-восток, от начальной точки к конечной; без направления указан только его модуль.

Задача 3. Спортсмен пробежал один круг длиной 400 м и финишировал в точке старта. Требуется найти путь и перемещение. Круг — замкнутая траектория, поэтому спортсмен вернулся туда, откуда начал, но для пути нужно учесть весь круг.

1. Длина пройденного круга задана в условии, поэтому путь s = 400 м.
2. Начальная и конечная точки совпадают.
3. Вектор перемещения соединяет эти точки, значит, он равен нулевому вектору.

Ответ: путь равен 400 м, перемещение равно нулю. Это показывает, почему нельзя находить путь только по положению тела в конце движения.

Типичные ошибки

• Считать путь и модуль перемещения одной величиной — можно только в особом случае: при прямолинейном движении без смены направления. Ошибка возникает, когда внимание уделяют лишь началу и концу пути. Проверьте, были ли повороты или движение назад: если были, пройденная длина может быть больше.

• Принимать перемещение за длину траектории неверно, потому что вектор соединяет лишь начальную и конечную точки. Так ошибаются, представляя перемещение как весь маршрут. Для проверки отметьте эти две точки и проведите между ними прямой отрезок.

• Указывать только модуль перемещения недостаточно, когда требуется сам вектор: тогда теряется направление изменения положения. Это происходит, если перемещение смешивают с путём или расстоянием. Проверьте формулировку задачи и, если нужен вектор, укажите направление от начальной точки к конечной.

• Описывать движение без системы отсчёта нельзя, потому что покой и движение относительны. Часто считают, что у тела есть единственный ответ на вопрос, движется ли оно. Проверьте, относительно чего задан вопрос, и при необходимости укажите движение относительно нескольких тел.

Связь с другими темами

Чтобы читать координаты и строить перемещение, нужны начальные представления о координатах и векторах. Измерение времени позволяет указывать, когда тело находилось в определённом месте, и сравнивать его положения. Далее путь и перемещение понадобятся при изучении скорости: они помогают описать, насколько быстро и в каком направлении меняется движение. Эти понятия также используются при разборе ускорения и законов движения.

Что запомнить

• Движение описывают относительно выбранной системы отсчёта.
• Система отсчёта включает тело отсчёта, координатную систему и часы.
• Траектория — линия движения тела.
• Путь — длина пройденного участка траектории.
• Перемещение направлено от начального положения к конечному.
• Путь не меньше модуля перемещения.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю, но путь может быть ненулевым.