1. Внутренняя энергия газа

Определения и обозначения

Внутренняя энергия газа — сумма кинетической энергии хаотического движения его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Первая связана с движением частиц, вторая — с силами, действующими между ними. Такое разделение помогает понять, какие микроскопические процессы могут изменить энергию газа.

Идеальный газ — модель, в которой молекулы считают точечными частицами и пренебрегают их взаимодействием, кроме кратковременных столкновений. Поэтому потенциальную энергию взаимодействия в этой модели не учитывают. Это упрощение позволяет связать внутреннюю энергию газа непосредственно с движением молекул.

Степень свободы — независимый способ движения молекулы, которому соответствует вклад в её энергию. Например, поступательное движение может происходить вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений. Число степеней свободы задаёт коэффициент в формуле внутренней энергии; для одноатомного газа учитываются три поступательные степени свободы.

Внутренняя энергия идеального газа определяется его состоянием и зависит от температуры и количества вещества. Для одноатомного газа её обозначают U и вычисляют по формулам U = 3/2 NkT или U = 3/2 νRT. Здесь N — число молекул, ν — количество вещества, k — постоянная Больцмана, R — универсальная газовая постоянная.

Как это устроено

В реальном газе на молекулы могут действовать силы притяжения и отталкивания, поэтому у них есть потенциальная энергия взаимодействия. В модели идеального газа этими силами вне столкновений пренебрегают: расстояния между молекулами обычно велики по сравнению с размерами самих частиц. Значит, в расчёте внутренней энергии остаётся главным образом кинетическая энергия хаотического движения. Столкновения меняют скорости молекул, но в идеальной модели не добавляют заметной потенциальной энергии.

Температура характеризует среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул. Для одной молекулы она равна 3/2 kT, где T измеряют в кельвинах. При нагревании температура растёт, поэтому возрастает и средняя энергия движения молекулы. Это не означает, что скорости всех частиц одинаковы: молекулы движутся с разными скоростями, но их средняя энергия увеличивается.

Чтобы найти энергию всего газа, нужно сложить энергии всех его молекул. У одноатомной молекулы есть три поступательные степени свободы, и на каждую приходится в среднем ½kT; отсюда энергия одной молекулы 3/2 kT. Для N молекул получаем U = 3/2 NkT. Поскольку N = νNₐ и R = Nₐk, где Nₐ — число Авогадро, ту же формулу можно записать как U = 3/2 νRT.

Объём и давление сами по себе не входят в формулу внутренней энергии одноатомного идеального газа. При фиксированном количестве вещества одинаковая температура означает одинаковую среднюю энергию каждой молекулы, а значит, одинаковую суммарную энергию всех молекул. Изменение объёма может сопровождаться изменением давления, но не меняет U, если температура остаётся прежней. Для другого количества газа при той же температуре суммарная энергия будет другой, потому что молекул станет больше или меньше.

Если температура меняется, меняется средняя кинетическая энергия молекул, а вместе с ней и внутренняя энергия газа. При неизменном количестве одноатомного идеального газа из формулы U = 3/2 νRT вычитают начальную энергию из конечной. Получается ΔU = 3/2 νRΔT, где ΔT = T₂ − T₁. Положительное значение ΔU соответствует нагреванию, отрицательное — охлаждению.

Внутренняя энергия идеального газа

В таблице собраны величины и формулы для одноатомного идеального газа; N означает число молекул, а ν — количество вещества.

Сначала определите, дана ли задача через число молекул N или через количество вещества ν, и выберите соответствующую форму формулы. Для изменения энергии используйте ΔT, а не абсолютную температуру. Проверяйте, что температура выражена в кельвинах, а энергия — в джоулях.

Разбор задач

Внутренняя энергия при заданных количестве вещества и температуре

Найти внутреннюю энергию одноатомного идеального газа количеством 2 моль при температуре 300 К. Даны ν = 2 моль и T = 300 К; требуется U. Поскольку количество вещества указано в молях, удобнее взять формулу U = 3/2 νRT. Используем R = 8,31 Дж/(моль·К).

1. Записываем формулу для одноатомного газа: U = 3/2 νRT.
2. Подставляем данные: U = 3/2 · 2 · 8,31 · 300.
3. Сокращаем множитель 3/2 · 2 до 3 и вычисляем: U = 3 · 8,31 · 300 ≈ 7479 Дж.
4. Проверяем единицы: моль и кельвин сокращаются с единицами R, остаются джоули.

Ответ: U ≈ 7,5 кДж.

Изменение энергии при нагревании

Одноатомный идеальный газ при неизменном количестве вещества нагрели от 280 К до 360 К. Нужно определить изменение внутренней энергии; количество вещества обозначим ν, поскольку численное значение в условии не задано. Для такого расчёта начальные и конечные объём и давление не нужны. Достаточно найти разность температур и использовать формулу изменения энергии.

1. Находим изменение температуры: ΔT = T₂ − T₁ = 360 − 280 = 80 К.
2. Применяем формулу: ΔU = 3/2 νRΔT.
3. Подставляем ΔT и R: ΔU = 3/2 · ν · 8,31 · 80 ≈ 997ν Дж, где ν выражено в молях.
4. Изменение положительно, потому что газ нагрели; если в условии задано конкретное количество вещества, его подставляют вместо ν.

Ответ: ΔU ≈ 997ν Дж; численное значение зависит от количества вещества.

Изменение температуры по изменению энергии

В закрытом сосуде находится одноатомный идеальный газ. Его внутренняя энергия увеличилась на 1,2 кДж, а количество вещества равно 0,4 моль. Требуется определить изменение температуры. Закрытый сосуд означает, что количество газа не меняется, поэтому применима формула ΔU = 3/2 νRΔT. Перед подстановкой переводим энергию в джоули.

1. Переводим величину: ΔU = 1,2 кДж = 1200 Дж.
2. Выражаем изменение температуры: ΔT = 2ΔU/(3νR).
3. Подставляем данные: ΔT = 2 · 1200/(3 · 0,4 · 8,31) ≈ 240,7 К.
4. Рост внутренней энергии означает нагревание, поэтому знак изменения температуры положительный.

Ответ: ΔT ≈ 241 К.

Типичные ошибки

Считать внутренней энергией только движение молекул без объяснения причины — неполно. Такое упрощение допустимо для идеального газа, потому что в его модели потенциальной энергией взаимодействия пренебрегают. Ошибка возникает, когда модель идеального газа переносят на любой газ без оговорок. Проверка: уточните, идёт ли речь об идеальном газе и какие составляющие энергии учитываются.

Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов даёт неверный результат. Формулы связывают внутреннюю энергию с абсолютной температурой, отсчитываемой от абсолютного нуля. Чтобы проверить себя, переведите температуру по формуле T = t + 273,15; для разности температур численное значение в кельвинах и градусах Цельсия совпадает.

Число молекул N и количество вещества ν — разные величины, поэтому формулы NkT и νRT нельзя смешивать. N считают в частицах, а ν — в молях; связь между ними задаёт число Авогадро. Ошибка обычно появляется при подстановке чисел без проверки единиц. Проверьте, что вместе с N используете k, а вместе с ν — R.

Изменение объёма само по себе не означает изменения внутренней энергии идеального газа. Для заданного количества газа энергия определяется температурой, поэтому при постоянной T она не меняется. Путаница возникает из-за того, что объём связан с давлением и состоянием газа. Проверка: сравните начальную и конечную температуры и количество вещества, а не только объёмы.

Связь с другими темами

Для изучения внутренней энергии нужны модель идеального газа, понятие абсолютной температуры и связь температуры со средней кинетической энергией молекул. Эти идеи объясняют, почему нагревание меняет энергию частиц. Далее внутренняя энергия понадобится при изучении первого закона термодинамики и тепловых процессов. Формулы для ΔU применяют в задачах о нагревании, охлаждении и работе газа.

Что запомнить

• Внутренняя энергия — микроскопическая энергия частиц, составляющих тело.
• Для идеального газа энергией взаимодействия молекул пренебрегают.
• Внутренняя энергия идеального газа зависит от температуры и количества вещества.
• Для одноатомного идеального газа U = 3/2 NkT = 3/2 νRT.
• При неизменном количестве одноатомного идеального газа ΔU = 3/2 νRΔT.
• В формулах температуры используют кельвины.