1. Внутренняя энергия газа

Определения и обозначения

Внутренняя энергия — сумма кинетической энергии хаотического движения частиц тела и потенциальной энергии их взаимодействия. Её обозначают буквой U и измеряют в джоулях. Это понятие позволяет описывать состояние газа через движение его частиц, а не через движение всего сосуда.

Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, учитывая только столкновения. Такое приближение удобно, когда размеры частиц малы, а расстояния между ними велики. Для этой модели расчёты внутренней энергии становятся простыми.

Число степеней свободы — количество независимых способов движения молекулы. Оно обозначается буквой i и влияет на долю энергии, приходящуюся на одну молекулу. Например, для одноатомной молекулы учитывают три поступательных направления движения.

Количество вещества — мера числа частиц в системе, обозначаемая греческой буквой ν. Оно измеряется в молях и связано с числом частиц соотношением N = νNₐ, где Nₐ — постоянная Авогадро. Эта величина показывает, сколько молекул участвует в образовании внутренней энергии.

Как это устроено

Внутренняя энергия газа состоит из кинетической энергии движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Молекулы постоянно и беспорядочно движутся, сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда. В идеальном газе расстояния между частицами считают достаточно большими, поэтому их взаимодействием вне столкновений пренебрегают, а потенциальную составляющую внутренней энергии не учитывают.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы определяется температурой газа: чем выше температура, тем быстрее в среднем движутся частицы. Это связывает наблюдаемую температуру с микроскопическим движением молекул. При фиксированном количестве вещества число частиц не меняется, поэтому изменение температуры приводит к изменению суммарной внутренней энергии.

Для идеального газа с i степенями свободы внутренняя энергия выражается формулой U = (i/2)νRT. Здесь U — внутренняя энергия, i — число степеней свободы, ν — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, а T — абсолютная температура в кельвинах. Формула применима к идеальному газу, находящемуся в равновесии, когда его температуру можно считать определённой.

У одноатомной молекулы учитывают три независимых поступательных движения вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений, поэтому i = 3. Подстановка этого значения в общую формулу даёт U = (3/2)νRT. Коэффициент 3/2 появляется именно как результат деления числа степеней свободы на два, а не как отдельная физическая константа.

При нагревании газа абсолютная температура увеличивается, поэтому при постоянном количестве вещества возрастает и внутренняя энергия. При охлаждении температура и внутренняя энергия уменьшаются. Формула задаёт энергию относительно выбранного отсчёта, поэтому в практических задачах чаще находят изменение: ΔU = (i/2)νRΔT.

Внутренняя энергия идеального газа

Сначала определите, рассматривается ли весь газ или только изменение его состояния. Затем выберите общую формулу либо частный случай для одноатомного газа и проверьте единицы величин.

Если известны начальная и конечная температуры, обычно удобнее сразу использовать формулу для ΔU. Таблица также помогает не перепутать число степеней свободы и количество вещества.

Разбор задач

Задача 1. Найти внутреннюю энергию одного моля одноатомного идеального газа при температуре 300 К. Требуется найти U, поэтому используется формула для одноатомного газа, а не формула изменения энергии.

1. Для одноатомного газа i = 3, количество вещества ν = 1 моль, температура уже дана в кельвинах.
2. Подставим значения: U = (3/2) · 1 · 8,31 · 300 Дж.
3. Вычисляем: U = 3739,5 Дж ≈ 3,74 кДж.

Ответ: внутренняя энергия газа примерно равна 3,74 кДж.

Задача 2. Одноатомный газ количеством 2 моль нагрели на 50 К. Найдём изменение внутренней энергии, поэтому начальную и конечную энергии отдельно вычислять не нужно.

1. Используем ΔU = (3/2)νRΔT.
2. Подставляем данные: ΔU = (3/2) · 2 · 8,31 · 50 Дж.
3. Получаем ΔU = 1246,5 Дж ≈ 1,25 кДж. Знак положительный, потому что газ нагрели.

Ответ: внутренняя энергия увеличилась примерно на 1,25 кДж.

Задача 3. При нагревании одноатомного газа на 100 К его внутренняя энергия увеличилась на 2493 Дж. Определить количество вещества. Неизвестное ν выразим из формулы изменения энергии.

1. Записываем ν = 2ΔU/(3RΔT).
2. Подставляем значения: ν = 2 · 2493/(3 · 8,31 · 100) моль.
3. После вычисления получаем ν ≈ 2 моль.

Ответ: количество вещества газа примерно равно 2 моль. В каждой задаче полезно сначала определить, ищется U или ΔU, а затем выбрать соответствующее выражение.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Внутреннюю энергию принимают за полную механическую энергию движения газа как целого. Так происходит, когда не различают движение сосуда и хаотическое движение молекул. Проверьте себя: внутренняя энергия относится к частицам внутри тела, а не к перемещению всего газа.

Ошибка 2. Формулу U = (3/2)νRT применяют к любому газу. Коэффициент 3/2 получен только для одноатомного идеального газа, поэтому для другой молекулы нужно узнать её число степеней свободы. Проверка проста: сначала найдите i, и лишь потом выбирайте формулу.

Ошибка 3. В формулу подставляют температуру в градусах Цельсия. Газовые формулы используют абсолютную температуру, поэтому нужно перевести её: T = t + 273,15. Если этого не сделать, результат может оказаться даже отрицательным для физически обычного состояния.

Ошибка 4. Путают внутреннюю энергию U с её изменением ΔU. Значение U описывает одно состояние, а ΔU сравнивает два состояния и равняется U₂ − U₁. Проверьте условие: если сказано «на сколько изменилась энергия», нужна именно формула с ΔT.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны представления о движении частиц, абсолютной температуре и количестве вещества. Эти знания объясняют, почему макроскопическая температура связана с энергией молекул и почему в формулах появляется ν.

Понятие внутренней энергии используется в первом начале термодинамики: изменение энергии связано с переданным теплом и работой газа. Поэтому формулы этой темы помогают анализировать нагревание, охлаждение и теплообмен.

Связь средней кинетической энергии молекул с температурой продолжает идеи молекулярно-кинетической теории газов. Через неё можно объяснить давление, скорость движения частиц и различия между одноатомными и многоатомными газами.

Что запомнить

• Внутренняя энергия включает кинетическую энергию частиц и потенциальную энергию их взаимодействия.
• У идеального газа потенциальной энергией взаимодействия молекул пренебрегают.
• Внутренняя энергия идеального газа связана с его абсолютной температурой.
• Для идеального газа U = (i/2)νRT.
• Для одноатомного идеального газа U = (3/2)νRT.
• При неизменном количестве вещества изменение температуры вызывает изменение внутренней энергии.