2. Упругие столкновения

Определения и обозначения

Упругое столкновение — кратковременное взаимодействие тел, при котором сохраняются импульс системы и её кинетическая энергия. Во время удара тела могут деформироваться, поэтому часть энергии движения временно запасается в деформации. Это понятие нужно, чтобы отличать обратимую деформацию от потери кинетической энергии.

Неупругое столкновение — взаимодействие, при котором импульс системы сохраняется, но кинетическая энергия уменьшается. Её часть переходит во внутреннюю энергию тел: например, нагревает их или вызывает остаточную деформацию. Это определение помогает описывать удары, после которых тела не полностью восстанавливают исходное состояние.

Лобовое столкновение — столкновение, при котором скорости тел до и после удара направлены вдоль одной прямой. Его удобно изучать в одномерной системе координат, но направления скоростей всё равно задают знаками. Такое описание позволяет свести векторные законы сохранения к уравнениям для проекций.

Система центра масс — система отсчёта, связанная с центром масс тел. Скорость центра масс равна суммарному импульсу системы, делённому на её общую массу. Поэтому в этой системе скорость центра масс равна нулю, а вместе с ней равен нулю и суммарный импульс.

Как это устроено

Во время столкновения тела действуют друг на друга очень большими силами, но лишь короткое время. Изменение импульса определяется импульсом силы, то есть произведением силы на время её действия. Внутренние силы внутри системы взаимно компенсируются, а внешний импульс за короткий промежуток обычно мал. Поэтому полный импульс сталкивающихся тел до и после удара можно считать одинаковым.

Сохранение импульса само по себе не означает сохранения кинетической энергии. При неупругом ударе часть энергии движения расходуется на нагрев, звук и необратимую деформацию. При упругом ударе деформация обратима: энергия временно накапливается, а затем возвращается движению. Поэтому для упругого столкновения можно использовать одновременно два закона сохранения.

Для лобового удара двух тел выберем ось вдоль их движения и обозначим начальные скорости u₁, u₂, а конечные — v₁, v₂. Если массы тел равны m₁ и m₂, законы записываются так: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ и m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2. Это два уравнения для двух неизвестных конечных скоростей. Знаки скоростей показывают их направления, поэтому перед подстановкой нужно выбрать ось.

В системе центра масс суммарный импульс равен нулю до столкновения и остаётся нулевым после него. Для двух тел их импульсы в каждый момент равны по модулю и противоположны по направлению. При упругом лобовом столкновении каждый импульс меняет направление, сохраняя модуль, а значит, скорости тел в этой системе разворачиваются, не меняя модулей. Это делает картину удара особенно простой.

Если лобово сталкиваются одинаковые шары, решения законов сохранения показывают, что после удара первый получает прежнюю скорость второго, а второй — прежнюю скорость первого. Иначе говоря, шары обмениваются скоростями, включая их направления. Если же лёгкое тело ударяет неподвижную тяжёлую мишень, оно отскакивает назад почти с прежним модулем скорости, а мишень получает небольшую скорость. Чем больше масса мишени по сравнению с массой налетающего тела, тем точнее это приближение.

Сравнение упругого и неупругого столкновений

Сначала проверьте, можно ли пренебречь внешним импульсом: только тогда можно уверенно применять закон сохранения импульса. Затем определите тип столкновения и решите, сохраняется ли кинетическая энергия. Таблица помогает не смешивать эти два условия.

Разбор задач

Задача 1. Два одинаковых шара движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой, их начальные скорости известны. Нужно найти скорости после упругого удара. Направим ось вправо, поэтому скорость шара, движущегося влево, будет отрицательной.

1. Обозначим начальные скорости u₁ и u₂, а конечные — v₁ и v₂. Для одинаковых масс из сохранения импульса получаем u₁ + u₂ = v₁ + v₂. Из сохранения кинетической энергии следует u₁² + u₂² = v₁² + v₂².
2. Возведём равенство импульсов в квадрат и вычтем из него равенство энергий. После сокращения получим u₁u₂ = v₁v₂. Значит, у конечных скоростей те же сумма и произведение, что у начальных, поэтому это те же два значения, переставленные местами.
3. Выбираем решение, соответствующее удару: v₁ = u₂, v₂ = u₁. Скорости подставляют со знаками, заданными выбранной осью. Ответ: одинаковые шары обмениваются скоростями.

Задача 2. Шар массой m со скоростью v ударяет неподвижный шар массой 3m. Удар лобовой и упругий. Найдём конечные скорости первого и второго шаров, считая направление движения первого шара положительным.

1. Пусть после удара скорости равны v₁ и v₂. Закон сохранения импульса даёт mv = mv₁ + 3mv₂, или v = v₁ + 3v₂. Важно не предполагать заранее, что первый шар продолжит двигаться вперёд.
2. По закону сохранения кинетической энергии mv²/2 = mv₁²/2 + 3mv₂²/2. После сокращения на m и умножения на 2 получаем v² = v₁² + 3v₂². Решая это уравнение вместе с уравнением импульса, получаем варианты: v₁ = v, v₂ = 0 либо v₁ = −v/2, v₂ = v/2.
3. Первый вариант означает, что скорости тел не изменились, то есть столкновения фактически не произошло. Для состоявшегося удара выбираем второй вариант: лёгкий шар отскакивает, а тяжёлый движется вперёд. Ответ: v₁ = −v/2, v₂ = v/2.

Задача 3. Два тела движутся под углом друг к другу и сталкиваются упруго; известны массы и скорости до удара. Требуется определить скорости после столкновения. В отличие от лобового случая, конечные направления тоже неизвестны.

1. Запишем векторный закон сохранения импульса: m₁u⃗₁ + m₂u⃗₂ = m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂. Он задаёт две связи — для проекций на оси x и y. Сохранение кинетической энергии добавляет ещё одно уравнение.
2. Этих уравнений может быть недостаточно, чтобы однозначно найти все компоненты конечных скоростей. Для двух тел неизвестны четыре компоненты, тогда как независимых условий сохранения только три. Поэтому возможны разные направления разлёта при одинаковых начальных данных.
3. Нужно дополнительное сведение, например угол разлёта, направление линии удара или сведения о форме и контакте тел. После этого составляют уравнения проекций и энергии и находят скорости. Ответ: без дополнительных сведений единственного решения в общем случае нет.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что при любом столкновении сохраняется кинетическая энергия. Её допускают, смешивая закон сохранения импульса с условием упругости. Проверьте, указано ли в задаче, что удар упругий; если нет, не добавляйте сохранение кинетической энергии без основания.

Вторая ошибка — применять закон сохранения импульса к одному телу. Во время удара импульс одного шара меняется из-за силы со стороны другого, а сохраняется суммарный импульс выбранной системы. Для проверки выпишите состав системы и проследите, что все взаимодействующие тела в неё включены.

Третья ошибка — считать импульс изолированной системы неизменным, не проверяя внешнее воздействие. Это допустимо, только если внешний импульс за время столкновения пренебрежимо мал. Оцените, действует ли заметная внешняя сила достаточно долго, чтобы существенно изменить импульс тел.

Четвёртая ошибка — подставлять в уравнения только модули скоростей. Так теряется информация о том, движется тело по выбранной оси или против неё, и решение может оказаться неверным. Перед расчётом нарисуйте ось и обозначьте направления; после ответа проверьте знаки и смысл движения.

Связь с другими темами

Для решения задач о столкновениях нужны закон сохранения импульса, формула кинетической энергии и умение работать с векторами. В лобовом случае векторные уравнения переходят в уравнения проекций, где направления учитываются знаками скоростей. Понятие центра масс помогает выбрать удобную систему отсчёта и описывать движение системы целиком. Эти идеи также пригодятся при изучении реактивного движения и других законов сохранения в механике.

Что запомнить

• При пренебрежимо малом внешнем импульсе импульс системы сохраняется при любом столкновении.
• Кинетическая энергия системы сохраняется только при упругом столкновении.
• В системе центра масс суммарный импульс тел равен нулю.
• При лобовом упругом столкновении конечные скорости находят из законов сохранения импульса и кинетической энергии.
• Два одинаковых тела при лобовом упругом столкновении обмениваются скоростями.
• При переходе между системами отсчёта скорости тел меняются, а законы сохранения применяются к системе целиком.