3. Природа электрического сопротивления. Зависимость сопротивления от температуры

Определения и обозначения

Электрическое сопротивление — физическая величина, характеризующая противодействие проводника электрическому току; его обозначают R и измеряют в омах (Ом). Чем больше сопротивление, тем меньше ток при том же напряжении. Это понятие помогает описывать свойства отдельного проводника и рассчитывать цепи по закону Ома.

Удельное сопротивление — характеристика материала, учитывающая его влияние на сопротивление проводника; обозначается греческой буквой ρ. В отличие от R, оно не зависит от длины и площади конкретного образца. С его помощью можно сравнивать материалы и рассчитывать сопротивление проводов разных размеров.

Температурный коэффициент сопротивления — величина, показывающая относительное изменение сопротивления при изменении температуры на один градус; обозначение — α. Его единица измерения — °C⁻¹. Знак и значение коэффициента позволяют оценить, как меняется сопротивление материала при нагревании или охлаждении.

Терморезистор — резистор, сопротивление которого существенно зависит от температуры. Его используют для измерения температуры или автоматического регулирования работы устройств. Измерив сопротивление и зная характеристику терморезистора, можно установить температуру окружающей среды или детали.

Как это устроено

В металле часть электронов может перемещаться по проводнику под действием электрического поля. На пути электроны взаимодействуют с ионами кристаллической решётки, то есть с частицами, расположенными в упорядоченных положениях. Эти столкновения изменяют движение электронов и передают энергию решётке. В результате энергия поля превращается во внутреннюю энергию проводника, а движению заряда оказывается противодействие.

Сопротивление зависит и от свойств материала, и от геометрии проводника: R = ρl/S. Здесь ρ — удельное сопротивление, l — длина, S — площадь поперечного сечения. Чем длиннее провод, тем больший путь проходят электроны и тем больше взаимодействий они испытывают. При увеличении площади сечения у заряда появляется больше путей для движения, поэтому сопротивление уменьшается; материал с большим ρ также даёт большее сопротивление.

При нагревании металла ионы решётки колеблются сильнее. Из-за этого электроны чаще взаимодействуют с решёткой и труднее движутся направленно, поэтому сопротивление обычно возрастает. Для небольшого диапазона температур эту зависимость приближённо записывают как R = R₀(1 + αΔT), где R₀ — сопротивление при начальной температуре, а ΔT = T − T₀ — изменение температуры. Такая линейная формула удобна для инженерных расчётов, но не описывает любые температуры без ограничений.

У полупроводника при нагревании увеличивается число носителей заряда — частиц, способных переносить электрический заряд. Хотя усиление колебаний решётки тоже мешает их движению, обычно рост числа носителей влияет сильнее. Поэтому суммарный ток при том же напряжении увеличивается, а сопротивление уменьшается. Такое поведение противоположно обычному поведению металлов.

Терморезисторы используют именно потому, что их сопротивление заметно меняется вместе с температурой. В датчике измерительная схема определяет сопротивление элемента и сопоставляет его с заранее известной температурной характеристикой. В устройствах защиты изменение сопротивления может помочь обнаружить перегрев или ограничить ток. Чтобы получить точную температуру, учитывают тип элемента и его калибровку, поскольку зависимость не всегда линейна.

Сопротивление проводников и его зависимость от температуры

Сначала определите, к какому типу относится материал: это подскажет обычное направление изменения сопротивления при нагревании. Затем сопоставьте причины изменения: в металле решающее значение имеют столкновения, а в полупроводнике — рост числа носителей. Формулу для металла применяйте как приближение и только при небольшом изменении температуры.

Разбор задач

Медный провод

Медный провод длиной 10 м и площадью поперечного сечения 1 мм² подключён к источнику напряжением 12 В. Нужно найти сопротивление и силу тока. Для меди при обычной температуре возьмём табличное удельное сопротивление ρ ≈ 1,7·10⁻⁸ Ом·м. Сначала рассчитаем сопротивление по размерам провода, а затем применим закон Ома.

1. Переведём площадь в квадратные метры: 1 мм² = 1·10⁻⁶ м². Так единицы согласуются с ρ в Ом·м.
2. Подставим значения в формулу R = ρl/S: R = 1,7·10⁻⁸·10/(1·10⁻⁶) = 0,17 Ом. Длина увеличивает сопротивление, а сечение уменьшает его.
3. По закону Ома I = U/R. Тогда I = 12/0,17 ≈ 71 А. Это расчётное значение для заданных условий; при таком токе следует учитывать нагрев провода.

Ответ: сопротивление провода примерно 0,17 Ом, сила тока примерно 71 А.

Нагрев металлического резистора

При 20 °C сопротивление резистора равно 100 Ом, температурный коэффициент α = 0,004 °C⁻¹. Требуется найти сопротивление при 80 °C. Начальная температура — 20 °C, поэтому в формулу нужно подставить не 80, а разность температур. Считаем, что линейная зависимость применима в этом диапазоне.

1. Находим изменение температуры: ΔT = 80 − 20 = 60 °C. Именно на столько градусов нагрелся резистор.
2. Используем формулу R = R₀(1 + αΔT). Подстановка даёт R = 100(1 + 0,004·60) = 100·1,24 = 124 Ом.
3. Проверим смысл результата: коэффициент положительный, поэтому при нагревании сопротивление металла должно увеличиться. Полученное значение больше начального, значит направление изменения согласуется с физическим смыслом.

Ответ: сопротивление при 80 °C равно 124 Ом.

Терморезистор в последовательной цепи

Терморезистор имеет сопротивление 1000 Ом при 20 °C, 600 Ом при 40 °C и 380 Ом при 60 °C. Его последовательно соединяют с резистором 200 Ом и источником 6 В. Нужно найти ток при 60 °C и объяснить, как он изменится при нагревании. При последовательном соединении сопротивления складываются.

1. По таблице для 60 °C выбираем сопротивление терморезистора: Rт = 380 Ом. Подставлять значение для другой температуры нельзя.
2. Находим общее сопротивление: Rобщ = 380 + 200 = 580 Ом. Один и тот же ток проходит через оба последовательно соединённых резистора.
3. По закону Ома I = U/Rобщ = 6/580 ≈ 0,0103 А, то есть примерно 10,3 мА. При нагревании сопротивление терморезистора по данным условия уменьшается, значит общее сопротивление цепи становится меньше, а ток при том же напряжении возрастает.

Ответ: при 60 °C ток равен примерно 10,3 мА; при нагревании ток увеличивается.

Типичные ошибки

Путать сопротивление R с удельным сопротивлением ρ — значит смешивать характеристику конкретного проводника с характеристикой материала. Это происходит потому, что обе величины связаны с тем, насколько легко идёт ток. Проверка: в формуле R = ρl/S у R есть единица Ом, а ρ зависит только от материала и имеет единицу Ом·м.

Считать, что при нагревании сопротивление любого вещества увеличивается, нельзя: у металлов оно обычно растёт, а у полупроводников уменьшается. Ошибка возникает, если переносить наблюдение о металлах на все материалы. Проверяйте тип вещества и причину температурного изменения: у полупроводника нагрев увеличивает число носителей заряда.

Подстановка конечной температуры вместо её изменения приводит к неверному результату в формуле R = R₀(1 + αΔT). Часто ученик видит температуру нагрева и сразу подставляет её, забывая, что сопротивление задано при T₀. Для самопроверки вычислите ΔT = T − T₀ отдельно до подстановки.

Если не перевести площадь сечения в согласованные единицы, расчёт сопротивления может отличаться на много порядков. Особенно легко ошибиться с миллиметрами: 1 мм² = 10⁻⁶ м², а не 10⁻³ м². Перед вычислением проверьте единицы ρ, длины и площади; затем убедитесь, что в ответе получились омы.

Связь с другими темами

Для изучения сопротивления нужны закон Ома, понятия силы тока и напряжения, а также представления об электрической работе и строении проводников. Эти знания объясняют, как связаны движение зарядов, передача энергии и нагрев. Формула сопротивления проводника дополняет закон Ома сведениями о материале и размерах.

Расчёты сопротивлений используются при изучении последовательного и параллельного соединения элементов электрической цепи. Температурная зависимость пригодится при знакомстве с полупроводниковыми приборами, термодатчиками и электронагревателями. Она также подготавливает к изучению сверхпроводимости — явления, при котором при определённых условиях сопротивление может исчезать.

Что запомнить

• Сопротивление проводника определяется формулой R = ρl/S.
• Единица сопротивления — ом.
• В металлах сопротивление обычно увеличивается при нагревании.
• В полупроводниках сопротивление обычно уменьшается при нагревании.
• Для небольших изменений температуры сопротивление металла можно считать линейно зависящим от температуры.
• Температурный коэффициент сопротивления показывает относительное изменение сопротивления при нагревании на один градус.
• Зависимость сопротивления от температуры используется в терморезисторах и датчиках.