3. Природа электрического сопротивления. Зависимость сопротивления от температуры

Определения и обозначения

Электрическое сопротивление — физическая величина, характеризующая противодействие проводника электрическому току. Формула R = U/I показывает, какое напряжение U нужно создать для тока I. Единица сопротивления — ом (Ом): 1 Ом = 1 В/А.

Удельное сопротивление ρ — характеристика материала проводника. Для однородного проводника R = ρl/S, где l — длина, а S — площадь поперечного сечения. Формула помогает понять, как размеры детали и выбранный материал влияют на её сопротивление.

Температурный коэффициент сопротивления α показывает относительное изменение сопротивления при изменении температуры на один градус. В приближённой формуле R = R₀[1 + α(T − T₀)] он определяет скорость и направление изменения сопротивления. Для металлов α обычно положителен.

Сверхпроводимость — состояние некоторых веществ при охлаждении ниже критической температуры, когда их электрическое сопротивление исчезает. Критическая температура различна для разных материалов. Явление используют там, где нужно проводить ток без потерь энергии.

Как это устроено

В металле есть свободные электроны, способные перемещаться по кристаллической решётке. Под действием электрического поля они получают направленное движение, но постоянно сталкиваются с частицами решётки. Столкновения изменяют скорость и направление электронов, поэтому упорядоченное движение ослабевает и возникает сопротивление току.

Температура связана с интенсивностью теплового движения частиц. При нагревании частицы металлической решётки колеблются сильнее и чаще встречаются на пути электронов. Из-за этого столкновения происходят чаще, направленное движение электронов затрудняется, а сопротивление металла увеличивается.

В небольшом температурном интервале сопротивление металла можно считать изменяющимся почти линейно: R = R₀[1 + α(T − T₀)]. Здесь R₀ — сопротивление при опорной температуре T₀, а не при абсолютном нуле. Формула приближённая, поэтому при очень сильном нагревании или охлаждении она может давать заметную погрешность.

У полупроводников температура влияет не только на столкновения, но и на число носителей заряда. При нагревании свободных электронов и положительных носителей становится больше, поэтому проводимость часто возрастает, а сопротивление уменьшается. В некоторых материалах и диапазонах температур действуют оба механизма, поэтому зависимость может быть сложнее простой линейной.

При охлаждении некоторых материалов до критической температуры сопротивление скачком становится равным нулю. Электрический ток в таком состоянии может течь без обычных потерь энергии на сопротивлении. Это отличается от металлического проводника, у которого сопротивление меняется плавно и обычно лишь уменьшается при охлаждении.

Сопротивление и его зависимость от температуры

Сначала определите тип материала, затем сравните направление изменения сопротивления с изменением температуры. Таблица показывает общую картину, потому что реальные свойства зависят от состава вещества и диапазона температур. Линейную формулу применяют главным образом для металлических проводников и ограниченного интервала.

Разбор задач

Задача 1. Сопротивление металлического проводника при температуре T₀ равно R₀. Найти сопротивление при температуре T, если известен коэффициент α.

1. Исходное сопротивление задано при T₀, поэтому используем R = R₀[1 + α(T − T₀)].
2. Находим изменение температуры ΔT = T − T₀. Если проводник нагрели, ΔT положительна.
3. Подставляем ΔT и α. При положительном α нагревание увеличит R, а охлаждение уменьшит его.

Ответ: R = R₀[1 + α(T − T₀)]. Знак результата проверяют по физическому смыслу: для металла при нагревании сопротивление должно возрасти.

Задача 2. Проводник из того же материала заменили другим: длина увеличилась вдвое, а площадь сечения уменьшилась вдвое. Во сколько раз изменилось сопротивление?

1. Материал тот же, значит ρ не изменяется.
2. Записываем отношение: R₂/R₁ = (ρl₂/S₂)/(ρl₁/S₁) = (l₂/l₁)(S₁/S₂).
3. Подставляем l₂/l₁ = 2 и S₁/S₂ = 2: R₂/R₁ = 2 · 2 = 4.

Ответ: сопротивление увеличилось в 4 раза. Увеличение длины вдвое повышает сопротивление вдвое, а уменьшение площади вдвое ещё раз увеличивает его вдвое.

Задача 3. Сопротивление металлического элемента равно R₁ при температуре T₁ и R₂ при температуре T₂. Определить α и температуру, при которой сопротивление станет R.

1. Записываем два уравнения: R₁ = R₀[1 + α(T₁ − T₀)] и R₂ = R₀[1 + α(T₂ − T₀)].
2. Если R₀ и T₀ неизвестны, удобнее представить зависимость как R = A + BT. Тогда B = (R₂ − R₁)/(T₂ − T₁), а α находят из B = αR₀ после определения R₀.
3. Для заданного сопротивления решаем линейное уравнение R = R₁ + B(T − T₁): T = T₁ + (R − R₁)/B.

Ответ: сначала находят наклон B по двум измерениям, затем α и искомую температуру. Проверка состоит в том, что при промежуточной температуре сопротивление должно лежать между R₁ и R₂.

Типичные ошибки

Считать, что нагревание всегда увеличивает сопротивление, неверно. У полупроводников оно часто уменьшается из-за роста числа носителей заряда. Проверьте себя: сначала определите материал и знак α.

Подстановка абсолютной температуры вместо разности T − T₀ меняет смысл формулы. R₀ задано именно при температуре T₀, поэтому нужно вычислять изменение относительно неё. Проверьте, что при T = T₀ формула даёт R = R₀.

Сопротивление R путают с удельным сопротивлением ρ, хотя это разные величины. R зависит от материала и размеров проводника, а ρ характеризует материал при заданных условиях. Проверьте формулу R = ρl/S и единицы измерения.

Линейную формулу иногда считают точной при любых температурах. На самом деле она приближённая и применима в ограниченном диапазоне, пока состояние материала не меняется. Проверьте, не происходит ли фазовый переход, сильный нагрев или сверхпроводящий переход.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон Ома для участка цепи, понятия силы тока и напряжения. Также необходимо знать, как сопротивление зависит от длины и площади поперечного сечения проводника. Эти знания позволяют правильно читать формулы и анализировать эксперименты.

Тема пригодится при изучении электрических цепей, терморезисторов и сверхпроводников. Зависимость сопротивления от температуры помогает оценивать нагрев деталей и выбирать материалы для измерительных приборов.

Что запомнить

• Сопротивление характеризует противодействие проводника электрическому току.
• Для однородного проводника R = ρl/S.
• В металле сопротивление связано со столкновениями электронов с частицами кристаллической решётки.
• При нагревании металла его сопротивление обычно увеличивается.
• У многих полупроводников при нагревании сопротивление уменьшается.
• Приближённая формула температурной зависимости металла: R = R₀[1 + α(T − T₀)].
• Ниже критической температуры у сверхпроводника сопротивление становится равным нулю.