4. Действие магнитного поля на движущиеся заряды. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу. Её модуль вычисляют по формуле F = |q|vB sin α, где |q| — модуль заряда, v — скорость частицы, B — магнитная индукция. Формула позволяет найти величину воздействия, не учитывая его направление.

Угол α — угол между вектором скорости частицы и вектором магнитной индукции B. От него зависит множитель sin α: при параллельных направлениях он равен нулю, а при перпендикулярных — единице. Поэтому угол нужен, чтобы учесть, какая часть движения приводит к действию магнитной силы.

Направление силы Лоренца для положительного заряда определяют правилом левой руки. Ладонь располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в неё, четыре пальца направляют по скорости, а отогнутый большой палец указывает силу. Для отрицательного заряда сила направлена в противоположную сторону, поэтому знак заряда учитывают отдельно от расчёта модуля.

Линии магнитной индукции — условные линии, касательные к которым показывают направление вектора B. Сопоставляя их с направлением скорости, можно определить угол α и понять, движется частица вдоль поля, поперёк него или наклонно. Это помогает и рассчитать модуль силы, и применить правило левой руки.

Как это устроено

Магнитная составляющая силы возникает у заряда, который движется относительно магнитного поля. Это видно и из формулы: при v = 0 произведение |q|vB sin α обращается в ноль. Поэтому неподвижный заряд магнитное поле не отклоняет, хотя на него могут действовать силы другого происхождения, например электрическая.

На величину силы влияют четыре фактора: модуль заряда, скорость, магнитная индукция и угол между скоростью и полем. Чем больше |q|, v или B, тем больше сила при неизменных остальных условиях. Если частица летит вдоль линий поля, α = 0° и sin α = 0; если поперёк — α = 90° и sin α = 1, поэтому сила максимальна.

Направление силы зависит от взаимного расположения скорости и магнитного поля, а для отрицательного заряда ещё и от знака заряда. Сначала по правилу левой руки находят направление для положительной частицы, затем для отрицательной меняют его на противоположное. Такое разделение удобно: модуль рассчитывают с |q|, а знак используют только при определении направления.

Сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы. Работа силы равна нулю, потому что перемещение за малое время направлено вдоль скорости, а сила — поперёк неё; значит, энергия движения не меняется. При этом вектор скорости поворачивается, поэтому направление движения меняется, а траектория может искривиться.

В однородном поле форма траектории зависит от составляющих скорости. При движении поперёк поля сила играет роль центростремительной и частица движется по окружности; вдоль поля сила равна нулю, поэтому движение прямолинейное. Если скорость направлена наклонно, её поперечная составляющая вызывает вращение, а продольная сохраняет продвижение вдоль поля — вместе получается винтовая линия.

Действие магнитного поля на движущийся заряд

Сначала сравните направления скорости и поля, чтобы определить угол и выбрать строку с нужным условием. Затем рассчитайте модуль силы, а направление установите отдельно по правилу левой руки с учётом знака заряда. В последней строке таблицы описано не отдельное условие движения, а поправка к направлению силы для отрицательной частицы.

Разбор задач

1. Заряд движется перпендикулярно полю

Заряд 2 мкКл движется со скоростью 3·10⁵ м/с перпендикулярно полю с магнитной индукцией 0,4 Тл. Нужно найти модуль силы Лоренца. Здесь α = 90°, поэтому sin α = 1.

1. Переведём заряд в кулоны: 2 мкКл = 2·10⁻⁶ Кл.
2. Запишем формулу для модуля силы: F = |q|vB sin α. Так как sin 90° = 1, остаётся перемножить модуль заряда, скорость и магнитную индукцию.
3. Подставим значения: F = 2·10⁻⁶ · 3·10⁵ · 0,4 = 0,24 Н.

Ответ: модуль силы Лоренца равен 0,24 Н. Положительный результат означает величину силы; её направление по этим данным без указания направлений векторов определить нельзя.

2. Протон движется поперёк поля

Протон движется перпендикулярно однородному магнитному полю; известны его скорость v, масса m и магнитная индукция B. Требуется определить направление силы и радиус траектории. Числовых значений нет, поэтому ответ выразим через заданные величины, а направление опишем правилом.

1. Протон имеет положительный заряд q = +e, поэтому применяем правило левой руки без изменения направления: линии поля входят в ладонь, пальцы направлены по скорости, большой палец показывает силу.
2. Поскольку скорость перпендикулярна полю, модуль силы равен F = evB. Эта сила перпендикулярна скорости и служит центростремительной силой при движении по окружности.
3. Приравняем силы: evB = mv²/r. Сократим на v и выразим радиус: r = mv/(eB).

Ответ: направление силы определяют правилом левой руки для положительного заряда; радиус окружности r = mv/(eB). Если в условии заданы числа, их подставляют в эту формулу в единицах СИ.

3. Электрон движется под углом к полю

Электрон влетает в однородное поле под углом α к линиям магнитной индукции. Даны скорость v, масса m, модуль заряда |q| и индукция B; нужно найти радиус винтовой траектории и её шаг. Разделим скорость на составляющие: v⊥ = v sin α и v∥ = v cos α, где первая перпендикулярна полю, а вторая направлена вдоль него.

1. Поперечная составляющая создаёт движение по окружности. Приравниваем силу Лоренца центростремительной силе: |q|v⊥B = mv⊥²/r, откуда r = mv⊥/(|q|B) = mv sin α/(|q|B).
2. Продольная составляющая не испытывает магнитной силы и остаётся постоянной. За один период обращения T частица проходит вдоль поля расстояние h = v∥T.
3. Период обращения находим из движения по окружности: T = 2πr/v⊥ = 2πm/(|q|B). Тогда h = 2πmv cos α/(|q|B).

Ответ: радиус r = mv sin α/(|q|B), шаг h = 2πmv cos α/(|q|B). Знак заряда задаёт направление закручивания, а в формулах для радиуса и шага используют модуль заряда.

Типичные ошибки

Подставлять заряд со знаком в формулу модуля. Это делают, смешивая расчёт величины силы с определением её направления. Для модуля используется |q|, а знак учитывают при применении правила левой руки. Проверьте себя: модуль силы не может быть отрицательным.

Считать, что поле действует на заряд, движущийся вдоль линий индукции. Ошибка возникает, если не учитывать угол между скоростью и полем. При движении вдоль поля α = 0° и sin α = 0, поэтому сила равна нулю. Подставьте угол в формулу до вычислений — это сразу покажет результат.

Определять направление силы для отрицательного заряда так же, как для положительного. Правило левой руки сначала даёт направление для положительного заряда, и этот шаг часто переносят на электрон без поправки. Для отрицательной частицы направление нужно развернуть на 180°. Проверка: при тех же скорости и поле направления сил для зарядов противоположных знаков должны быть противоположны.

Считать, что магнитная сила меняет модуль скорости. Такое представление появляется из-за того, что траектория искривляется. Но сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому меняет её направление, а не величину; кинетическая энергия сохраняется. Проверьте, есть ли у силы составляющая вдоль скорости: в магнитном поле её нет.

Связь с другими темами

Для описания направления поля нужны понятие магнитной индукции и знание о линиях магнитного поля. По ним определяют направление вектора B и сопоставляют его со скоростью заряда. Без этого нельзя найти угол α или применить правило левой руки.

Чтобы вывести радиус движения частицы, используют второй закон Ньютона и представление о центростремительной силе. Сила Лоренца искривляет траекторию и в случае движения поперёк поля становится причиной движения по окружности. Та же связь нужна при решении задач на период и скорость вращения.

Движение заряженных частиц в магнитном поле применяют в ускорителях и масс-спектрометрах. В масс-спектрометре траектория зависит от отношения массы частицы к её заряду, поэтому по движению можно различать частицы. Это показывает, как формула силы Лоренца помогает объяснять устройство приборов.

Что запомнить

• Магнитное поле действует на движущийся заряд.
• Модуль силы Лоренца равен F = |q|vB sin α.
• При движении вдоль поля сила Лоренца равна нулю.
• При движении поперёк поля сила максимальна.
• Направление силы для отрицательного заряда противоположно направлению для положительного.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и не изменяет кинетическую энергию частицы.
• В однородном поле наклонное движение заряда может быть винтовым.