§ 36. Преломление волн

Определения и обозначения

Преломление волн — изменение направления распространения волны при переходе через границу двух сред, связанное с изменением её скорости. Иными словами, волна входит в область, где распространяется иначе, и её путь поворачивает. Это понятие нужно, чтобы описывать переход волн между водой, воздухом и другими средами.

Угол падения α и угол преломления β — углы между направлениями распространения волны и перпендикуляром к границе раздела сред. Этот перпендикуляр называют нормалью. Измерение от нормали задаёт единое правило для обеих сред и позволяет правильно применять закон преломления.

Показатель преломления второй среды относительно первой — отношение скорости волны в первой среде к скорости во второй: n₂₁ = v₁ / v₂. Это безразмерная величина, показывающая, во сколько раз скорости отличаются. Она помогает сравнить условия распространения волны в двух средах.

Закон преломления волн связывает углы падения и преломления со скоростями: sin α / sin β = v₁ / v₂. Скорость v₁ относится к первой среде, из которой волна падает на границу, а v₂ — ко второй. Закон нужен для расчёта неизвестного угла или скорости, если остальные величины известны.

Как это устроено

Причина поворота волны — различие её скоростей в двух средах. Представьте волновой фронт, который подходит к границе наклонно: один его участок пересекает границу раньше другого. После перехода этот участок уже движется с новой скоростью, тогда как оставшаяся часть фронта ещё распространяется по старым условиям.

Это можно объяснить принципом Гюйгенса: каждая точка волнового фронта становится источником вторичных волн, а новый фронт образует их общая огибающая. Когда часть фронта попадает в среду с иной скоростью, вторичные волны там имеют другой радиус за одинаковое время. Поэтому новый фронт поворачивается относительно прежнего, а направление распространения, перпендикулярное фронту, изменяется.

Закон преломления можно получить из геометрии такого поворота. За одно и то же время участок волны в первой среде проходит расстояние, пропорциональное v₁, а во второй — расстояние, пропорциональное v₂. Из прямоугольных треугольников для пути фронта отношение этих расстояний выражается через синусы углов падения и преломления. Отсюда sin α / sin β = v₁ / v₂: изменение отношения скоростей вызывает соответствующее изменение отношения синусов углов.

Если во второй среде волна движется медленнее, часть фронта, уже перешедшая границу, отстаёт от части, оставшейся в первой среде. Фронт поворачивается так, что направление волны приближается к нормали: β меньше α. Если скорость во второй среде выше, перешедшая часть фронта уходит вперёд, и направление отклоняется от нормали: β больше α. При падении точно по нормали поворота направления нет.

Частота ν при переходе сохраняется, поскольку колебания по обе стороны границы связаны одним источником. Но скорость волны зависит от среды, поэтому меняется длина волны λ. Из соотношения v = λν следует, что при неизменной частоте длина волны увеличивается вместе со скоростью и уменьшается при её снижении. Так преломление может менять одновременно направление распространения и расстояние между соседними точками волны в одинаковой фазе.

Изменение характеристик волны при переходе через границу сред

Пользуйтесь таблицей, чтобы отделить неизменную величину — частоту — от тех, которые зависят от среды. Сначала найдите скорость или длину волны, затем определите направление отклонения сравнением скоростей. Для углов применяйте закон преломления, измеряя их от нормали.

Разбор задач

Задача 1. Волна переходит из первой среды во вторую. Скорости равны 6 м/с и 4 м/с, угол падения — 30°. Найдите угол преломления. Поскольку скорость во второй среде меньше, заранее ожидаем отклонение к нормали и угол меньше 30°.

1. Запишем закон преломления: sin α / sin β = v₁ / v₂.
2. Подставим значения: sin 30° / sin β = 6 / 4, поэтому sin β = ½ · 4 / 6 = 1/3.
3. Найдём угол: β = arcsin(1/3) ≈ 19,5°. Полученное значение меньше угла падения, как и должно быть при замедлении.

Ответ: угол преломления примерно 19,5°.

Задача 2. Частота равна 8 Гц, скорость уменьшается с 12 до 9 м/с, угол падения — 45°. Нужно найти длину волны в обеих средах и направление распространения. Сначала используем неизменную частоту, а затем сравним скорости, чтобы установить сторону отклонения.

1. В первой среде λ₁ = v₁ / ν = 12 / 8 = 1,5 м.
2. Во второй среде λ₂ = v₂ / ν = 9 / 8 = 1,125 м. Длина волны уменьшилась вместе со скоростью, а частота осталась равной 8 Гц.
3. По закону преломления sin β = sin 45° · 9 / 12 ≈ 0,530. Значит, β ≈ 32°, то есть волна отклонится к нормали.

Ответ: λ₁ = 1,5 м, λ₂ = 1,125 м; направление изменится к нормали, угол преломления примерно 32°.

Задача 3. Угол падения равен 40°, угол преломления — 25°, скорость в первой среде — 5 м/с. Найдите скорость во второй среде и показатель преломления второй среды относительно первой. Закон сразу даёт отношение скоростей, а показатель преломления по определению равен этому отношению.

1. Из sin α / sin β = v₁ / v₂ получим v₂ = v₁ · sin β / sin α.
2. Подставим числа: v₂ = 5 · sin 25° / sin 40° ≈ 5 · 0,423 / 0,643 ≈ 3,29 м/с.
3. Вычислим показатель: n₂₁ = v₁ / v₂ = sin 40° / sin 25° ≈ 1,52. Скорость снизилась, что согласуется с β < α.

Ответ: скорость во второй среде примерно 3,29 м/с, показатель преломления n₂₁ ≈ 1,52.

Типичные ошибки

Углы измеряют от границы сред, а не от перпендикуляра к ней. Так поступают, потому что зрительно удобнее отсчитывать угол от линии границы, но в законе используются углы к нормали. Перед подстановкой отметьте нормаль и проверьте, что оба угла измерены от неё.

Считают, что при преломлении меняется частота. Это путают с изменением скорости: в новой среде волна действительно распространяется иначе, но число колебаний в секунду остаётся прежним. Проверьте себя: источник колебаний не сменился, значит, частота по обе стороны границы одна и та же.

Предполагают, что длина волны остаётся прежней, когда меняется скорость. Ошибка возникает из-за смешения длины волны с постоянной частотой. Подставьте величины в v = λν: если ν постоянна, изменение v обязательно означает изменение λ.

Путают, в какую сторону отклоняется волна. Причина обычно в том, что направление связывают с названием среды, а не со скоростью в ней. Сравните v₁ и v₂: при уменьшении скорости угол к нормали становится меньше, при увеличении — больше.

Связь с другими темами

Для понимания преломления нужны понятия волнового фронта и луча: фронт показывает положение одинаковой фазы, а луч указывает направление распространения. Также понадобятся скорость, частота и длина волны, связанные формулой v = λν. Без этой связи нельзя определить, что происходит с расстоянием между соседними волновыми фронтами при переходе в новую среду.

Закон преломления волн помогает перейти к изучению преломления света. Свет тоже меняет направление при переходе между средами с разными оптическими свойствами, а его поведение объясняется соотношением скоростей и углов. Эти знания применяются при разборе линз и других оптических явлений.

Что запомнить

• Преломление происходит при переходе волны из одной среды в другую, если меняется её скорость.
• Углы падения и преломления отсчитывают от перпендикуляра к границе сред.
• Отношение синусов углов падения и преломления равно отношению скоростей волн в средах.
• При переходе через границу частота волны не изменяется.
• При изменении скорости меняется длина волны: v = λν.
• В среде с меньшей скоростью волна отклоняется к нормали.