§55. Преломление волн

Определения и обозначения

Преломление волн — изменение направления распространения волны при переходе через границу раздела сред, связанное с изменением скорости волны. Оно объясняет, почему волна после границы может идти под другим углом. Если скорости одинаковы или падение перпендикулярное, поворота направления не происходит.

Угол падения — угол между направлением распространения падающей волны и перпендикуляром к границе раздела в точке падения. Перпендикуляр к границе также называют нормалью. Этот угол нужен, чтобы описать, насколько наклонно волна подходит к границе.

Угол преломления — угол между направлением распространения преломлённой волны и перпендикуляром к границе раздела. Его обозначают β, а угол падения обычно обозначают α. Сравнение этих углов показывает, к нормали или от неё повернула волна.

Показатель преломления второй среды относительно первой — отношение скорости волны в первой среде к её скорости во второй среде: n₂₁ = v₁/v₂. Это безразмерная величина, позволяющая сравнить распространение волны в двух средах. Если n₂₁ больше единицы, во второй среде волна движется медленнее.

Как это устроено

Частота волны при переходе через границу сред сохраняется, потому что колебания на границе должны быть согласованы по обе стороны раздела. Источник задаёт определённый ритм колебаний, и граница передаёт его дальше, а не создаёт новый. Поэтому за одинаковое время через границу проходят согласованные колебания с одинаковой частотой.

Длина волны связана со скоростью и частотой формулой λ = v/ν. Поскольку ν не меняется, изменение скорости приводит к изменению расстояния между соседними одинаковыми фазами волны. В среде, где скорость меньше, за один период волна проходит меньшее расстояние, поэтому и длина волны там меньше.

При наклонном падении разные участки фронта волны достигают границы не одновременно. Фронтом называют линию или поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе; направление распространения перпендикулярно фронту. Та часть фронта, которая первой вошла во вторую среду, уже движется с новой скоростью, пока остальная ещё движется по-прежнему. Из-за разной скорости участков фронт поворачивается, а вместе с ним меняется и направление распространения.

Поворот можно описать с помощью принципа Гюйгенса: каждую точку фронта считают источником вторичных волн, а новый фронт строят как общую огибающую этих волн. При таком построении для углов α и β и скоростей v₁ и v₂ получается закон преломления: sin α/sin β = v₁/v₂. Скорость первой среды стоит в отношении вместе с синусом угла падения, а скорость второй — вместе с синусом угла преломления. Поэтому формула связывает геометрию поворота с тем, насколько различаются скорости.

Если волна входит в среду с меньшей скоростью, из закона следует, что угол преломления меньше угла падения: луч приближается к нормали. В более быстрой среде он отклоняется от нормали, поскольку угол преломления становится больше. При нормальном падении α = 0, и направление остаётся вдоль нормали, хотя скорость и длина волны за границей могут измениться.

Изменение волны при переходе через границу сред

Чтобы пользоваться таблицей, сначала сравните скорость волны в первой и второй средах и выберите нужный столбец. Затем проверьте, как должны измениться длина волны и направление. При нормальном падении углы равны нулю, поэтому направление не поворачивается, даже если скорость меняется.

Разбор задач

Задача 1

Волна переходит из среды, где её скорость равна 6 м/с, в среду со скоростью 4 м/с. Угол падения равен 30°. Найдите угол преломления. Во второй среде волна медленнее, значит, результат должен показать приближение к нормали. Для вычисления используем закон преломления.

1. Запишем закон: sin α/sin β = v₁/v₂. Выразим неизвестный синус: sin β = sin α · v₂/v₁.
2. Подставим данные: sin β = sin 30° · 4/6 = 0,5 · 2/3 = 1/3.
3. Найдём угол, синус которого равен 1/3: β ≈ 19,5°. Он меньше угла падения 30°, как и должно быть при переходе в более медленную среду.

Ответ: угол преломления примерно 19,5°. Проверка по смыслу подтверждает вычисление: волна отклонилась к нормали, потому что её скорость уменьшилась.

Задача 2

Частота волны при переходе через границу сред равна 500 Гц, скорости в первой и второй средах — 10 м/с и 6 м/с. Нужно определить длину волны в каждой среде и направление луча при наклонном падении. Частота указана одна, поскольку на границе она сохраняется. Длины найдём отдельно по формуле λ = v/ν.

1. В первой среде λ₁ = v₁/ν = 10/500 = 0,020 м, то есть 2 см.
2. Во второй среде λ₂ = v₂/ν = 6/500 = 0,012 м, то есть 1,2 см. Меньшая скорость при той же частоте означает меньшую длину волны.
3. Сравним скорости: 6 м/с меньше 10 м/с. При наклонном падении волна во второй среде отклонится к нормали.

Ответ: λ₁ = 0,020 м, λ₂ = 0,012 м; направление при наклонном падении изменится к перпендикуляру. Полученные длины согласуются с тем, что во второй среде волна распространяется медленнее.

Задача 3

Луч падает из первой среды на границу со второй под углом 45° и преломляется под углом 30°. Скорость волны во второй среде равна 5 м/с. Найдите скорость в первой среде и относительный показатель преломления второй среды. Здесь известны оба угла и v₂, поэтому закон преломления можно преобразовать для поиска v₁. Углы считаем от нормали к границе.

1. Запишем sin 45°/sin 30° = v₁/v₂ и выразим скорость: v₁ = v₂ · sin 45°/sin 30°.
2. Подставим значения: v₁ = 5 · (√2/2)/(1/2) = 5√2 ≈ 7,1 м/с.
3. Вычислим показатель преломления второй среды относительно первой: n₂₁ = v₁/v₂ = 7,1/5 ≈ 1,41. Точный результат равен √2.

Ответ: скорость в первой среде примерно 7,1 м/с, показатель преломления второй среды относительно первой равен √2 ≈ 1,41. Поскольку v₂ меньше v₁, угол преломления должен быть меньше угла падения, что совпадает с условием.

Типичные ошибки

Ошибка — измерять углы от границы раздела, а не от перпендикуляра к ней. Так поступают, потому что границу легко принять за исходную линию отсчёта, но в законе преломления углы определены именно относительно нормали. Перед подстановкой отметьте нормаль и убедитесь, что оба угла измерены от неё. Если угол дан относительно границы, его нужно сначала пересчитать как дополнительный.

Неверно считать, что при переходе сохраняется длина волны. Это смешение с частотой: частота действительно остаётся прежней, но длина зависит от скорости по формуле λ = v/ν. Проверка проста: если скорость изменилась, а частота нет, длина волны тоже должна измениться. В более медленной среде она становится короче.

В отношении sin α/sin β иногда переставляют скорости. Причина — попытка сопоставить величины без проверки, какая среда относится к каждому углу. В правильной формуле sin α/sin β = v₁/v₂: угол падения относится к первой среде, а угол преломления — ко второй. Проверьте результат по физическому смыслу: при v₂ < v₁ должно получиться β < α.

Ещё одна ошибка — утверждать, что при нормальном падении направление обязательно меняется. Поворот связывают с преломлением в целом и забывают, что при падении вдоль нормали угол равен нулю. Проверьте рисунок или условие: если падающая волна направлена перпендикулярно границе, она и после перехода идёт по той же прямой. Изменение скорости при этом возможно.

Связь с другими темами

Для изучения преломления нужно знать связь скорости, длины волны и частоты: λ = v/ν. Также пригодятся умение отсчитывать углы от заданной линии и находить синус угла. Эти знания позволяют перейти от описания колебаний к вычислению длины волны и направления её распространения.

Преломление связано с принципом Гюйгенса, который помогает объяснить поворот фронта, и с отражением волн на границе сред. Те же идеи применяются при изучении оптики: свет тоже меняет направление при переходе между средами, а соотношение углов связано со скоростями распространения. Поэтому понимание волнового преломления готовит к изучению законов преломления света.

Что запомнить

• При переходе через границу сред частота волны не меняется.
• Длина волны меняется вслед за скоростью: λ = v/ν.
• Закон преломления: sin α/sin β = v₁/v₂.
• В более медленной среде волна отклоняется к перпендикуляру.
• В более быстрой среде волна отклоняется от перпендикуляра.
• При нормальном падении направление распространения не меняется.