§ 17. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Гравитационная сила — сила взаимного притяжения любых тел, имеющих массу. Она направлена вдоль линии, соединяющей тела, к другому телу; модуль силы обозначают F. Это понятие помогает описывать, как тела воздействуют друг на друга, даже если между ними нет непосредственного контакта.

Закон всемирного тяготения описывает, как сила притяжения двух тел зависит от их масс и расстояния между ними. Чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела друг от друга, тем оно слабее. Закон нужен, чтобы не только качественно рассуждать о взаимодействии, но и вычислять его силу.

Гравитационная постоянная — коэффициент G в формуле закона всемирного тяготения. Её значение G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Постоянная нужна для количественного расчёта: она связывает массы и расстояние с величиной силы.

Точечное тело — модель тела, размерами которого в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Массу такого тела мысленно считают сосредоточенной в одной точке. Модель упрощает расчёт, когда размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними.

Как это устроено

Гравитационное взаимодействие всегда взаимно: первое тело притягивает второе, а второе — первое. Каждая сила приложена к своему телу, поэтому они не уничтожают друг друга, хотя равны по модулю. Их направления лежат на одной прямой, соединяющей тела, и обращены навстречу друг другу; это соответствует третьему закону Ньютона.

Закон всемирного тяготения формулируется так: два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Формула имеет вид F = Gm₁m₂/r², где m₁ и m₂ — массы тел, а r — расстояние между их центрами. Квадрат расстояния в знаменателе показывает, что удаление ослабляет притяжение быстрее, чем простое увеличение расстояния.

Если увеличить одну из масс в несколько раз, сила увеличится во столько же раз, потому что масса входит в произведение в первой степени. Если увеличить обе массы, изменение силы определяется произведением этих увеличений. При увеличении расстояния в n раз знаменатель станет в n² раз больше, поэтому сила уменьшится в n² раз; например, при удвоении расстояния она станет вчетверо меньше.

Формулу напрямую используют для точечных тел и тел со сферической симметрией. Для точечных тел r — расстояние между ними, а у сферических тел — расстояние между центрами сфер. Такое правило позволяет учитывать притяжение протяжённых сферических объектов без сложного суммирования действия отдельных частей: снаружи сферическое тело ведёт себя так, будто его масса сосредоточена в центре.

Сила тяжести у поверхности планеты — частный случай гравитационного взаимодействия: планета притягивает находящееся рядом тело. Чтобы найти эту силу по закону тяготения, берут массу тела и массу планеты, а расстояние отсчитывают от центра планеты до тела. Для тела у поверхности это расстояние примерно равно радиусу планеты, если размерами самого тела можно пренебречь.

Величины и обозначения в законе всемирного тяготения

Перед вычислением найдите в условии каждую величину, обозначьте её и проверьте единицы измерения. В формулу подставляют расстояние между центрами тел, а не между ближайшими точками их поверхностей. Если исходные данные даны не в СИ, сначала переведите массы в килограммы, а расстояние — в метры.

Разбор задач

Сила притяжения тел массами 2 кг и 3 кг

Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Найдём модуль силы их гравитационного притяжения. Данные уже записаны в единицах СИ, поэтому их можно подставить в закон напрямую.

1. Запишем закон: F = Gm₁m₂/r². Здесь m₁ = 2 кг, m₂ = 3 кг, r = 1 м, G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
2. Подставим величины: F = 6,67·10⁻¹¹·2·3/1² Н. В знаменателе расстояние возводится в квадрат, но при r = 1 м численное значение квадрата равно 1.
3. Вычислим: F = 4,002·10⁻¹⁰ Н. Получилось очень малое значение, что объясняет, почему притяжение обычных предметов обычно незаметно.

Ответ: сила притяжения равна 4,002·10⁻¹⁰ Н.

Расстояние увеличили в 3 раза

Расстояние между двумя телами увеличили втрое, а их массы оставили прежними. Нужно сравнить новую силу со старой, поэтому массы и значение G учитывать в численном расчёте не требуется. Достаточно проследить, как меняется знаменатель формулы.

1. Обозначим начальное расстояние r, а новую величину запишем как 3r. Начальная сила пропорциональна 1/r².
2. После изменения сила пропорциональна 1/(3r)² = 1/(9r²). Значит, она составляет одну девятую от начальной.
3. Сравнение показывает: сила уменьшилась в 9 раз, а не в 3 раза, потому что в законе расстояние стоит в квадрате.

Ответ: сила уменьшилась в 9 раз.

Тело и сферическая планета

Найдём силу притяжения тела массой 5 кг к сферической планете массой 6·10²⁴ кг, если расстояние от тела до центра планеты равно 7·10⁶ м. Сферическая форма позволяет применить закон, а расстояние в условии уже отсчитано от центра. Все данные даны в единицах СИ.

1. Запишем формулу F = Gm₁m₂/r² и подставим G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг², m₁ = 5 кг, m₂ = 6·10²⁴ кг, r = 7·10⁶ м.
2. Возведём расстояние в квадрат: (7·10⁶)² = 49·10¹² м². Тогда F = (6,67·10⁻¹¹·5·6·10²⁴)/(49·10¹²) Н.
3. Вычислим: F ≈ 40,8 Н. При проверке единиц кг² сокращаются, а Н·м² делится на м², поэтому результат измеряется в ньютонах.

Ответ: сила притяжения приблизительно равна 40,8 Н.

Типичные ошибки

Ошибка — подставить в формулу расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между их центрами. Так бывает, когда в условии даны размеры тел и расстояние между ближайшими точками, а различие величин упускают. Для проверки изобразите тела и определите, какое именно расстояние требуется; в законе используется расстояние между центрами.

Некоторые считают, что сила уменьшается обратно пропорционально расстоянию, а не его квадрату. Из-за этого при увеличении расстояния, например, вдвое ожидают уменьшение силы вдвое. Сверьте расчёт с формулой F = Gm₁m₂/r²: расстояние возведено в квадрат, значит, при удвоении оно даёт уменьшение силы в четыре раза.

Равенство гравитационных сил иногда ошибочно принимают за указание на то, что обе силы приложены к одному телу. На самом деле одна сила действует на первое тело, а другая — на второе. Проверяйте, к какому объекту относится каждая сила: силы взаимодействия равны, но приложены к разным телам и направлены противоположно.

Подстановка массы в граммах или расстояния в километрах без перевода в СИ приводит к неверному результату. Ошибка возникает потому, что численное значение G задано для килограммов и метров. Перед вычислением выпишите единицы данных и переведите их в кг и м; после подстановки проверьте, что единица силы получилась ньютоном.

Связь с другими темами

Для работы с законом тяготения пригодятся понятия силы, массы и расстояния: масса и расстояние входят в формулу, а результатом становится сила. Третий закон Ньютона помогает понять, почему взаимодействующие тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами. Знание равнодействующей сил позволяет рассматривать гравитацию вместе с другими воздействиями.

Закон всемирного тяготения используют при изучении движения планет и спутников: именно притяжение влияет на их траектории. Он связан и с ускорением свободного падения, и с силой тяжести, действующей на тело у поверхности планеты. Эти темы показывают, как один закон описывает взаимодействия на разных расстояниях и в разных масштабах.

Что запомнить

• Все тела, имеющие массу, притягиваются друг к другу.
• Гравитационные силы направлены вдоль прямой, соединяющей центры тел.
• Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.
• Модуль силы тяготения пропорционален произведению масс тел.
• Модуль силы тяготения обратно пропорционален квадрату расстояния между центрами тел.
• Формула закона применима к точечным и сферически симметричным телам.
• В расчётах нужно использовать единицы СИ и расстояние между центрами тел.